Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
обратиться в нуль на некоторой частоте й = йе и, следовательно, будет
иметь место резонанс в бесконечном упругом теле. Это предположение
проверяется непосредственным анализом динамических характеристик
полуполосы для различных значений частоты. Вычислительный процесс
основывается на асимптотических свойствах неизвестных в (5.3):
В результате найдено, что при изменении частоты от Й = =1,26 до й = 1,27
происходят изми ение знака определителя и изменение на 180° фазы всех
характеристик напряженного состояния. Именно по таким признакам
фиксируется наличие резонанса при изучении вынужденных колебаний конечных
упругих тел.
Для характеристики найденного краевого резонанса в полубес-конечной
полосе важно проанализировать соответствующую форму колебаний. На рис.
106 прий = 1,26 показана форма окрестности торца полуполосы в равновесном
состоянии (штриховые прямые) и в момент максимального отклонения от
положения равновесия (сплошная линия). Чтобы иметь представление о
векторе переме-
их = Л0 exp (ikpc), иг = 0
(5.4)
lim уп = - lim х (т) = а0 = const.
(5.5)
267
J
9
10
Iff
щений, одинаковыми цифра* ми показаны положения некоторых точек границы в
указанные моменты времени.
Рис. 106.
\
•2
х
Для более полного описания формы колебаний целесообразно сравнить
соответствующее ей движение частиц с движением их в первой
нераспространяющейся моде. О результатах такого сравне: ния можно
говорить, анализируя данные рис. 107. Здесь представлены распределение
вдоль оси Ох продольной (кривые 1) и поперечной (кривые 2) нормированных
по максимальному зна-
чению иг компонент вектора смещений точек полуполосы в сечении z = 0,75
h. Сплошные линии характеризуют форму краевого резонанса, а штриховые -
смещения в первой нераспространяющейся моде.
Оценить данные рис. 107 можно двояко. Существует определенная степень
близости указанных кривых, что можно истолковать как указание на
доминирующий вклад в форму колебаний первой нераспространяющейся волны.
Это особенно хорошо видно на фоне характера движений во второй
нераспространяющейся моде (пунктирные кривые). Следует обратить внимание
и на различия, самр существование которых свидетельствует о том, что в
образовании формы краевого резонанса участвуют все нераспространяющиеся
моды.
Аналогичная ситуация разделения распространяющейся и нераспространяющейся
мод наблюдается и в полубесконечном цилиндре при осесимметричных
колебаниях для v = 0 [93]. При этом также наблюдается неограниченный рост
характеристик напряженно-деформированного состояния при возбуждении торца
самоуравновешенной нагрузкой при подходе к частоте краевого резонанса
Це)=1
Рассмотренные случаи краевого резонанса в полубесконечных волноводах при
v = 0 дают возможность предположить, что аналогичное интересное явление
будет наблюдаться и в тех случаях, когда наименьшая критическая частота
волновода не равна нулю при любых V. Такими случаями являются
неосесимметричные движения в упругом цилиндре при / > 2 (см. рис. 58).
Здесь имеем ненулевую частоту й2, ниже которой волновод заперт. Как уже
отмечалось в § 8 главы 6, в конечном длинном цилиндре при I >. 2
существует резонансная частота П2 - ^ < йг- Это предопределяет
возможность существования резонанса, связанного с нераспространяю-
= 2,365.
268
0.5
2\ '¦•••¦. \4
ч 5/) x
¦ '
-0,5 Рис. 107.
щимися модами, и для полубесконечного цилиндра в указанном диапазоне Q2 <
Q2-
Общее решение уравнений Ламе для установившихся не-осесимметрических
колебаний полубесконечного цилиндра 0 ^
^ г ^ 1, г > 0 при гармонической зависимости ехр (- tot) искомых величин
строится так же, как и для конечного цилиндра (см. § 8 главы 6). Отметим
только, что первую часть общего решения (8.2) главы 6 для конечного
цилиндра нельзя автоматически переносить на данный случай формальной
заменой суммирования по дискретному параметру п на интегрирование по
непрерывному параметру т. Это связано с тем, что при такой записи решение
будет иметь особенность при т = ?Х>. Характер возникающих здесь
трудностей такой же, как и описанный в § 8 главы 4. Небольшое
видоизменение первой части общего решения (8.2) главы 6 приводит к
следующим окончательным выражениям для смещений:
и, = cos /0 I \ \х (т)
+ 2(Т )/
1
2<?i7 ((dh
dr
dr
*a + do dlj (9lr) 2Ail\ (dh
dh (qir)
1
4\li (di)
dh Ш)
dr
1
dh (q2r)
"72 dJi (92) ^
+
¦ t3 1 11 (d"h
^ 4 ' h(dh
cosTzdx+ii^]
M
У/
x [P2O
Ые = - sin /01 \ lx(x) -
-Pt* X/ + P2 "-Р,г\ dJi (X/r)
2p, e
t2 +?2
dr
2 h (9i0
h (9af)
2x2 d/i (di) d/i (dh
+
+ z(t)
h (dih
* dif'i (di)
T'2 h (dif) di dti'i (dh
dpi (dh
dh (di/) dr
X cos tzdt H--
uz = cos /0
<72
h (dih
11 (dh
2pi
*а+9г
29i/, (9i)
^ (<7ir)j
(5.6)
+
18 1841
W
Здесь использованы все обозначения § 8 главы 6. Отметим, что теперь при т
-> Qa (a = 1,2) никаких особенностей в подынтегральных выражениях не
возникает. Это легко устанавливается предельными переходами при qa -> 0.
