Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
внешних воздействий - кинематические или силовые граничные условия. Вне
этой области границы волновода считаются свободными. Задачи другого типа
возникают при моделировании процесса возбуждений волн путем задания
внешних усилий или смещений на торце полу-бесконечного волновода. Они
оказываются намного сложнее для теоретического анализа.
Различия физического плана между этими двумя типами задач в достаточно
полной мере удается проследить лишь для случая SH-волн. Только здесь
удается получить решение в замкнутом виде и проанализировать особенности
резонансных ситуаций, возникающих при задании на поверхности волновода
внешней нагрузки.
При анализе распространения волн Рэлея - Лэмба основное внимание уделено
двум вопросам. Подробно рассмотрены энерге-тические характеристики
процесса распространения волн и влияния вида нагрузки и частоты на
относительную эффективность возбуждения той или иной распространяющейся
моды. Такой анализ проведен для обоих типов волноводов.
Сравнительный анализ результатов для SH-волн и волн Рэлея - Лэмба в
полубесконечном волноводе показал существенное отличие в их поведении с
точки зрения возможности существования резонансов. Рассмотренные
резонансные ситуации в определенной мере дополняют данные об особенностях
краевого резонанса, полученные выше. Кроме того, анализ некоторых
предельных случаев позволил
16 1841
241
более наглядно отразить характерную лишь для упругих волноводов роль
связи между распространяющимися и нераспространяю-щимися модами.
§ 1. ВОЗБУЖДЕНИЕ SH-ВОЛН В ПЛОСКОМ ВОЛНОВОДЕ
Рассмотрение задачи о вынужденных движениях в волноводе является
естественным дальнейшим шагом при исследовании роли границы в
формировании волнового поля. Анализ решения такой задачи позволяет
раскрыть новые характерные черты упругих, волноводов, дополняющие данные
исследования дисперсионных соотношений в главе 4.
В настоящем параграфе рассматриваются следующие две граничные задачи о
возбуждении SH-волн в бесконечном и полубеско-нечном плоских волноводах.
В первой задаче необходимо найти плоское, не зависящее от у волновое поле
в слое | х | < °о,|г/|< возникающее
при действии на его поверхностях касательных усилий
1 \ ±/(х), \х\<а,
~Г~1гу=\ г. ||^ Z = ± h. 0-1)
0 у I 0, \х\> а, '
Множитель ехр (-mt) всюду опускается. Для простоты здесь
рассматриваются симметричные относительно плоскости z = О слоя движения.
Антисимметричный случай изучается аналогично.
Граничные условия (1.1) можно выполнить, считая отличным от нуля лишь
один компонент вектора смещений - иу (х, г). Для его определения из
уравнения движения получаем уравнение Гельмгольца
d2Uu . d2Uu . ,2 ли (c) /1
-%г + + k^y= °' <L2>
При этом граничные условия преобразуются к виду
.&._(*"*)¦ ]*!<•. (,.3)
дг { о, Iл:( >а, ' '
Граничная задача (1.2), (1.3) эквивалентна задаче акустики о возбуждении
волнового поля в волноводе с жесткими стенками при задании на части
поверхности колебательной скорости [24, 36]
Решение граничной задачи (1.2), (1.3) можно получить двумя путями. Первый
способ состоит в раздельном представлении решения уравнения (1.2) в
областях слоях ^ -а, | х | ^ а, х > а в виде рядов с неопределенными
коэффициентами по полной системе функций на интервале | z | ^ h. При этом
обеспечивают выполнение всех граничных условий на сторонах z = ±h.
Коэффициенты рядов находятся при согласовании различных решений по
смещениям и напряжениям в сечениях х = ±а. Такой подход часто используют
242
в электродинамике [97] и акустике [148] при решении волноводных задач для
канонических областей.
Второй подход к решению граничной задачи (1.2), (1.3) заключается в
использовании преобразования Фурье по координате х. С учетом симметрии
поля по координате г и выполнения граничных условий (1.3) получаем
еледующее выражение для компоненты смещений:
илх, г) шт.
I
2я
/ (Б) COS fj2
(i sin $h
1
Си*2 \
См \
с, ...с,
-с"-с,--с* ?
"См
Здесь
X exp (i?x) dg.
(1.4)
Рио, 97.
u
f (1) = \ f (X) exp (- tTx) d*, p =
Vk\-l\
jVfZTkI
lit ж
(1.5)
Представление (1.4) является формальным решением задачи по тем же
критериям, которые подробно обсуждались в задаче Лэмба (глава 3). Здесь
прежде всего следует обратить внимание на то, что рассматриваемое на
комплексной плоскости ? = ? + й) подынтегральное выражение не имеет точек
ветвления, а только полюса, определяемые равенствами
Р = О, Р =
гт
h
т - 0, 1, 2, 3, ...
(1.6)
На комплексной плоскости (рис. 97) указано расположение полюсов:
тя
h
-kl,
т - 0, 1, ..., N,
tn^N+l, N + 2,
(1.7)
Здесь для каждого фиксированного значения частоты <d (k2) имеется
конечное число симметрично расположенных на вещественной оси полюсов и
бесконечное число полюсов на мнимой оси.
Расшифровка формального решения (1.4) основывается на заме не интеграла
по вещественной оси контурным интегралом в комплексной плоскости ?. Выбор
контура при этом определяется условием излучения. В данном случае при его
