Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Это соотношение является исходным предположением для установления
асимптотических свойств неизвестных нием второго и четвертого уравнений в
(8.7).
Для больших номеров п в этих уравнениях справедливы равенства
Q? - О? v,
q2
Tn(q)&-jr, Qn(q)&4l (8.13)
Ъп
QI
Здесь принято, что qa " r)n н- * а = 1.2.
Рассмотрим сумму по j во втором уравнении системы (8.7).
Полагая в ней yt - а0 и используя значения сумм
У" _ 1 __ q2 + h (д)_________1__ .о ш
? 2 а'Ля) W'
V 1 - ^ + 2 <7а + *2 /|(4) I I
,=! ^(>-2 + ^) 4/(/+ 1) ^ cf 2ql\(q) + W '
находим
V f2"2f_J_________________________1 Vi р ) vQi(QS-2P)
^ + Ц) (1-^)Я*(Я* + 9?)
Q? - О?
<8Л5>
Очень важным следствием этого соотношения является уменьшение на порядок
скорости убывания по т]" суммы ряда по сравнению со скоростью убывания
его членов. Именно это свойство позволяет
238
использовать (8.15) как асимптотически точную оценку для суммы по / во
втором уравнении системы (8.7).
Если аналогичным образом поступить с суммой по / в четвертом уравнении
системы (8.7), то получим
SUI X2
1= I 1
2t]n
+ qf
1 + 2
+
Q|
2vQ\
(1 - 2v) 0?, + $.
<816>
В отличие от предыдущего равенства здесь скорость убывания по т)" суммы
ряда равна скорости убывания членов ряда. В связи с этим при
асимптотической оценке суммы по / в четвертом уравнении (8.7), исходя из
равенства (8.12), можно использовать лишь качественное равенство
2v?3^
/=1
У!
+
(I - 2v) {X2 + q\)
О
(8.17)
Используя соотношения (8.13), (8.15) и (8.17), получаем следующую систему
для определения главных членов асимптотических разложений неизвестных
величин хп и гп:
2г\"
+ zJ^- =
2 Чп
хп1 -4- гпг]п = О
Чп
Tin
(8.18)
При этом предполагается, что внешние нагрузки являются достаточно
гладкими и соответствующие им слагаемые в системе (8.7)
убывают быстрее, чем -. Из системы (8.18) находим
Чп
limx" = a0, limt\*zn = const. (8.19)
rt-юо n-vco
Равенства (8.12) и (8.19) являются предположениями о характере
асимптотического поведения неизвестных в системе (8.7). Для проверки
справедливости этого предположения необходимо использовать пятое
уравнение в (8.7). Используя значения сумм (3.26) главы 5 и равенства
(8.19), получаем асимптотические оценки для больших Kj рядов по п:
Учитывая, что сумма первого ряда для больших А,/ убывает медленнее, чем
его члены, а также оценку
Q2 -
АуОв)^-2-А , (8.21)
можно заключить, что система (8.7) имеет решение с асимптотическими
свойствами неизвестных (8.12) и (8.19). Эти равенства являются основой
эффективного алгоритма перехода от бесконечной системы
(8.7) к конечной.
Не имея возможности остановиться на конкретных результатах расчетов,
отметим следующее. Во-первых, в спектре собственных частот длинного
цилиндра (зависимости й2 от h) для I > 2 при h > > 2 существует
горизонтальная прямая й2 = йе, лежащая ниже й* - частотного минимума (см.
рис. 58 и 59). Собственные частоты в области й < й*, не связанные с
распространяющейся модой, наблюдались и в осесимметричном случае, где
горизонтальная линия спектра, соответствующая краевой моде, состояла при
v Ф 0 из ряда участков - плато. Эти разрывы были связаны с наличием
взаимодействия совокупности нераспространяющихся мод, образующей краевую
моду, с низшей продольной распространяющейся модой. В случае I > 2
распространяющиеся моды при Й < Й* отсутствуют (см. рис. 58 и 59), и для
неосесимметричного деформирования имеем "чистое" проявление краевой моды.
То, что краевая мода в длинном цилиндре является низшей из возможных,
отмечалось в экспериментальной работе [221 ]. Эта работа, по существу,
остается единственной, достаточно полно описывающей спектральные свойства
неосесимметричных мод колебаний цилиндра.
Отметим также отсутствие при / >- 1 точных решений типа мод Лэмба в
осесимметричном случае. Об этом говорится в работе [249], в которой для I
= 1 найдены простые выражения для вектора смещений, оставляющие боковую
поверхность свободной от напряжений. Как и в случае мод Лэмба,
соответствующее найденным выражениям смещений объемное расширение
обращается в нуль во всем объеме цилиндра. Однако при этом не удается
выбором h одновременно выполнить все три нулевых граничных условия на
торцах.
ГЛАВА 7
ВЫНУЖДЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ В ВОЛНОВОДАХ
Знание набора нормальных мод в волноводе является важным фактом при
решении вопросов практического их использования. Однако не менее важным
является вопрос о способах и эффективности возбуждения того или иного
типа волнового движения. Здесь картина оказывается значительно сложнее,
чем в рассмотренной в главе 3 задаче о вынужденных колебаниях
полупространства. Это усложнение физической картины приводит к постановке
ряда сложных краевых задач, не все из которых имеют к настоящему времени
достаточно полное решение. Наиболее простые задачи, возникающие при
моделировании реальных ситуаций, относятся к бесконечному и
полубесконечному волноводам. Для бесконечного волновода задача о
возбуждении волн связана с заданием на некоторой части границы системы
