Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
обозначают моменты времени, в которые
скорость расширения области контакта достигает скоростей распространения
упругих волн: a2(ts() = 1, а2(гs2) = Hrj. Как видно, графики глубины
погружения h (рис. 3.2) и скорости погружения А (рис. 3.3) для различных
поверхностей практически совпадают, а кривые для ускорения тела h (рис.
3.4), радиуса пятна контакта а2 (рис. 3.5) и скорости его расширения а2
(рис. 3.6) отличаются мало. Это связано с тем, что при принятых
141
ь, id
5,15
5,10
5,05
-2
Ц,95\
/
7"2,<3. а /
А
к 2
/
| --- и
О 2*sl U Б 8
Рис. 3.3. Зависимость скорости погружения h от времени т
77,7/7
-2
Рис. 3.4. Зависимость ускорения ударника h от времени т
142
Рис. 3.5. Изменение радиуса Oj области контакта во времени т
1 2 3 4- ч',10'3
Рис. 3.6. Зависимость скорости расширения dj области контакта от времени
т
143
значениях начальной скорости тела VQi и внешней силы pQI
глубина погружения h мала, и квадратичный член в подкоренных выражениях
(3.146) оказывает малое влияние на результат. То, есть зависимости й(г) и
h(x) для эллиптического и гиперболиче- ; ского цилиндров совпадают с
аналогичными функциями для| параболического цилиндра. Следовательно,
явный интеграл!
(3.147) задачи (3.144) при Rg3 = 0 может быть использован для)
всех типов рассмотренных поврхностей при h< 1.
§ 3.7. Вертикальное движение ударника \
Частично вертикальное движение для случая плоской задачи рассмотрено
в предыдущем параграфе. Здесь, не ограничиваясь, плоским случаем, под
вертикальным будем понимать такое! движение, при котором центр масс
ударника С, движется
I
параллельно оси Оху Если отсутствует вращение вокруг оси
Ох3, то этот тип движения может быть получен как частный
случай движения, рассмотренного в § 3.5. Учет вращения приводит к
необходимости отдельного рассмотрения.
Будем считать, что ударник обладает геометрической и массовой
симметрией относительно двух плоскостей ^ = 0 и
Уг = 0, ще - система главных центральных осей. При!
параметрическом задании поверхности П0 (см. (3.1)) геометрическая
симметрия обеспечивается следующим условием: для любых двух пар точек
Е D и
44)) <= D таких, что xv =
= (l|2). l?2)) и ^2^i3)'^23)) = ~*2 (^i4)> 44)) ' справедливы
равенства O' = 2, 3) и Xk(tf\ &р) =
= ^(^4)^24)) (*в1.3). В случае явного задания поверхности П0 (см. (3.17))
функция f(yx у2) должна быть четной по каждому из аргументов:
f(~yv Ъ) = f(yг У2>> ДЗ'р -Уг> = /CVi" Ут)- (3.148)
При вертикальном движении ударника ось С2у3 совпадает с осью Ох3, что
соответствует движению центра масс С2 вдоль оси Ох3 и отсутствию вращения
вокруг осей Ох^ и Ох^.
ucl = ис2 = ^ = V' = 0, =со2 = О,
ft\\ ~ Р22 ~ cos Ч>' Pl2 = -@21 * s*n = (3.149)
^31 = ^32 = Р\Ъ = #23 = О'
144
Здесь ft..-элементы матрицы перехода В (3.6), <р-угол между
осями Ox j и C^j.
Условия (3.149) выполняются, если соответствующие скалярные уравнения
из (3.4) и начальные условия (3.8) являются однородными:
R = R = М = М = О, Я = /? = М , = М = О,
е\ е2 еу\ еу2 1 2 у1 у2
(3.150)
исО 1 = "с02 " *01 " *02 _ V'o " ^0 ~ Ш01 = Ш02 ~ °-
Координаты векторов в двух системах координат связаны между собой
так:
соу1 = aijCOS <р + co2sin <р, (Оу2 = -а>1 sin <р + со2 cos <р,
соу3 = со3, Мх = Л/у1 cos - Му2 sin р, (3.151)
Л/2 = Myj sin <р + Му2 cos <р, М3 = Му3.
Учитывая (3.151), дополнительно к (3.149), (3.150) имеем
"V = "j-2 = °" М\ " М2 = Ме\ = Ме2 = °- (ЗЛ52)
Выясним, для каких анизотропных сред возможен расс-
матриваемый тип движения ударника, а именно, равенство нулю
результирующих контактных сил flj, R2 и моментов Мj и М2 в
формулах (3.93)-(3.96). Область контакта Q в данном случае обладает
симметрией относительно осей Ох^ и Ох2. Поэтому
обращаются в нуль следующие ее геометрические характеристики: 52Д= tf22=
12Л. = I = I2k2 = 12<2к = 0 (/ = 2,3;
к =1,3). Отсюда с учетом (3.149) для кинематических интегральных
характеристик задачи (3.90)-(3.92) получим следующие выражения:
ul- s{ = и2 = s2 = О, U3 = S3 = uc3S + s2 3, vi = v2 = o,v3 = uc3s,
(ЗЛ53)
*2,11 " *2,31 " *2,22 " *2,32 ~ *2,13 " *2,23 "
^2,21 = *2,12 = wiI2,\V *2,33 = "c3S2,3-
Тоща для произвольной анизотропной среды контактные силы и моменты
