Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Горшков А.Г. -> "Динамические контактные задачи с подвижными границами" -> 55

Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.

Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами — М.: Наука, 1955. — 352 c.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiekontaktniegranici1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 121 >> Следующая

особенности распределения контактных напряжений, основываясь на формуле
(4.15).
§ 4.2. Расширяющаяся область контакта
Как отмечено в предыдущем параграфе, формула (4.15) для напряжений
ст330 на плоскости х3 = 0 справедлива для контактной
задачи при сверхзвуковом (а2 > 1) и критическом (а2 = 1)
режимах расширения области контакта й. В то же время можно считать, что в
дозвуковом режиме (а2 < 1) формула (4.15)
определяет напряжения при заданном законе внедрения ударника h(r) в
случае отсутствия нормальных перемещений вне области Q (наличие
специальной "жесткой крышки", контактирующей с

157
полупространством без трения). Предельный случай подобна задачи (а2 = 0)-
движение поршня с жестким фланцем-расе
мотрен в [182]. Несмотря на идеализацию таких задач, их анали полезен с
точки зрения выявления закономерностей поведени контактных напряжений.
Причем в этом варианте исследовани могут быть проведены полностью в силу
явного вида представлени
(4.15).
Для анализа интегралов в (4.15) и проведения расчета необходимо найти
пределы интегрирования с учетом носителе) подынтегральных функций,
определяемых неравенствами:
4.(0 >0 (к, i = 1,2).
(4.16
Положим далее, что область контакта Я = [-а2, а2] монс* тонно
расширяется на интервале [0, т] и а2(х) является выпукло]
а2(0 = 40 > 0, а2(0 * 0 (*е [0, г]),
(4.1
fl2(°) = ao-0' h2^ = vO>0' ао<а2^' v0 ~ 'Чх">-
Решение неравенств (4.16) существенно зависит от поведен] функций
x.(t), которые с учетом (4.15) и (4.17) облада?
следующими свойствами:
x.(t) = v(t) > 0, х. = a2(t) <0 (t G [0, г]),

(4.18!
*;(°) = x0. < x.(x), x.(0) = vQ > x2(x).
Из (4.18) находим, что для функций x.(t) возможны тр|
варианта расположения интервалов знакопостоянства.
1) xQ. > 0 и, следовательно, x.(t) > 0 при t G (0, х] (рис. 4.2а);
Тогда функции 4(0 принимают следующий вид:
4-(0 = х - t - пкх.{1),
4(°) = * - пкхы, fkft) = -1 - r,kv(t) < 0,
(4.19:
4(0 = -"?Л(0 * 0 (<е[0,г]).
2) х.(х) < 0, и, следовательно, x.(t) < 0 при t G [0,
т
(рис. 4.2б), в том числе < 0. Для функций 4(0 в ЭТО! случае имеем
4" = X - t + r,kx.(t),
4(°) = * + т,кхш, fki(t) = -1 + Vkv(t),
(4.20)
4(0 = Vka20) - 0 (t G [0, г]).
158
"1
д
Рис. 4.2. Варианты поведения функций x.(t):
а-хп. > 0, б-х. < 0, в-< 0, х.(х) > О
Oi I Oi Л '
3) xQ. < О и х.(х) > О (рис. 4.2в). В силу монотонности (см.
(4.18)) функции x.(t) она имеет на отрезке [0, г] единственный нуль при t
= T0j:
ХЫ = °' х№ <0 (tE f°> V)" х№ >0 (te (V TD- "21)
Тогда fk.(t) определяются равенствами (4.19) и (4.20) соответственно
на отрезках [0, т0 ] и [т0" т]. При этом справедливо неравенство:
4'(то/) = т - r0i - °- (4-
22)
Заметим также, что во всех трех вариантах поведения x.(t) справедливо
следующее соотношение:
fki(r) = -t]k\x.(r)\ < 0.
(4.23)

159
Рассмотрим теперь решение неравенств (4.16) последователь: для всех
трех вариантов.
В случае 1 из (4.19) найдем, что при /fa.(0) < 0 имее*
4(0 < 0 при t Е 10, т] (рис. 4.3а). При /^.(0) > 0 (рис. 4.3б!
с учетом монотонности 4(0 и неравенства (4.23) получаем, чт<
существует единственный нуль при t = функции 4(0:
) =т -r? - 4xi(xi?) =0' т(и G f°' ть
4.(0 > о (^(o,tg>))
4.(0 < 0 (*e(tg>,T)). (4,24j
Таким образом, в это*| варианте для интегралов 4 *
(4.15) найдем
4(х, т) = (4.25);
т(2) i
= "(*o,W-Vo
0 s
В случае 2 решение зави| сит от поведения производной 4(0- Из
(4.20) следуют три
возможных случая. \
2а) 4(т) > 0 (рис. 4.4а) ^
и, следовательно, fk.(t) > О при ( ? Е [0, т]. Отсюда находим, что 4(0 <
0 при t Е [0, т). ' j
26) 4(0) - 0, и, следова-
Рис. 4.3. Функция 4(f) при xQ. > 0: тельно, 4(0 < 0 при t Е
а-4/°^ < б~4/0'1 > 0 Е (0, т]. Тоща при 4(0) < of
(рис. 4.4б) имеем, что 4(0 <1 <0 на отрезке [0, г]. А при 4(0) >
0 (рис. 4.4в) существует|
единствениый нуль функции 4(0: j
(4.26f
= r~t + Tlkxi(rki)) = °>
4(0 > 0 (t E [0,т")), 4.(0 < 0 (t E (T^.rl).
И для интегралов 4 получим

Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed