Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
сверхзвукового режима, определяется из (3.24) с учетом (3.108)- (3.111) и
симметрии задачи:
VN = [^(йс1 - со2ис3) + N3(Uc3 - co2zx) }Nn\ + n\, (3.114)
где аргументы и у2 определяются из условия принадлежности
точки границе dQ (см. (3.109), (3.110)).
Приведенные выше соотношения (3.110), (3.113) и (3.114) справедливы
для произвольной гладкой выпуклой симметричной поверхности П0. В качестве
примера рассмотрим три типа
алгебраических поверхностей второго порядка. Для них приведем уравнение
границы области контакта Q и связь начальных параметров.
Можно показать, что при некоторых значениях перемещений и углов
поворота для выпуклых алгебраических поверхностей второго порядка
границей области'Q будет эллипс с полуосями
/;i(3'io'°)cos^o = sin^o>
ис01 sin #0 + ис0з cos ео + ЛУю' °) = °> у10 = cos #0 + sin $0.
(3.113)
(3.115)
1. Эллиптический параболоид
Параметры уравнения 5Q:
z,0 = (~ис3 sin & + у13 - a tg d)/cos &,
(3.116)
133
а2 = dVa/cos b2 = rfVJ', d2 - a tg2# + 2A3/cos
003 = A = Ajgj + A3e3 = AyIe(,2) + Ay3ef\
(3.117)
Ai = Mci + У13 cos 9 + y33 sin fl,
A3 = Mc3_>'l3sind + >,33cosd>
Ayl = uel cos д - исЪ sin d + y13,
Ay3 = uc\ sin # + uc3 cos д + УЗЗ' где Q3-вершина параболоида с
координатами (у13, 0, у33).
Связь начальных условий:
г=0
= tg д0, А
уз
г=0
(3.118)
2. Эллипсоид
П0: Уз ~ Узз = сV 1 - ^- ? (а, Ъ,с> 0).
(3.129)
Параметры уравнения dQ:
z10 = [^13"(r) ^ + а2у33 sin ^ + 2^°2 ~ с^"с3 sin Iе2'
а2 = acd/e, b2 = bd, d2 = 1 - Л2/е2, (3.120)
2 2 • 2% ¦ 2 2а '
е = a sin # + с cos
где А3-определено в (3.117) с тем изменением, что 03-центр;
эллипсоида.
Связь начальных условий:
еА
>1
T=o = a2sinfl0, Ау3
= -cV 1 - а
2Д2
т=0
(3.121)
т=0 У1
Здесь перемещение ис3 и угол г) не могут быть произвольными. Из
(3.121) следует условие эллиптичности кривой dQ:
| Д3 | < е. Геометрический смысл этого условия вытекает из того,
что, как можно показать, е-расстояние от центра эллипсоида до
касательной плоскости к поверхности П, параллельной поверхности
полупространства х3 = 0. При вертикальном погружении
(у13 = # = 0) это условие эквивалентно следующему: 0 < А < 2с,
где Л= с- и3~ у33-глубина погружения тела в полупространство.;
134
r=o = aW0> Ay3
В действительности для линейных задач в силу малости А справедливо
неравенство 0 < h < с.
3. Двуполостный гиперболоид
n0:,-,3=-cV7^T| (а, Ь,с> 0). (3.122) Параметры уравнения дЯ:
z10 = |c2y13cos # - a2y33sin д + ^(а2 + с2)sin 2&]/е2,
а2 = acdle, b2 = bd, сI2 = Ag/e2 - 1, (3.123)
*2 = c2cos2# - a2sin2
где А3 имеет тот же смысл, что и раньше, но под Оэ необходимо
понимать центр гиперболоида.
Связь начальных условий:
= cV 1 + а~2А2 .
1=0 т=0
Условие эллиптичности dQ (ограниченности Я, гладкости П0) здесь имеет
вид | Д3 | > е. Однако в этом случае, как вытекает
из (2.36), дополнительно необходимо потребовать, чтобы е > 0 (| tg Ь | <
с/а). Это условие геометрически соответствует тому, что угол наклона оси
03у2 гиперболоида не может быть по
модулю больше угла наклона диагонали асимптотического прямоугольника
соответствующей гиперболы.
Для всех трех рассмотренных поверхностей такие геометрические
характеристики, как статические моменты и моменты инерции плоской области
Я, с учетом ее вида (3.115) могут быть вычислены достаточно просто:
S = ла2Ь2, S2 j = z10S,
(3.124)
^2,11 " (210 + а2^) S' h,22 = Ф/4.
Вычисление S23 и 1^ 13 связано с уравнением поверхности П0 и
достаточно громоздко. Эти характеристики приведены в приложении Б.
§ 3.6. Плоская контактная задача
Из результатов предыдущего параграфа может быть получено решение
соответствующей плоской задачи (см. § 1.5). В этом
135
случае поверхность П0, ограничивающая ударник, являете^
цилиндрической. И при явном ее задании вместо (3.17) имеем 1
(3.125)|
Во время взаимодействия образующие цилиндра остаются параллельными
граничной плоскости полупространства П1(). Атн
зотропные среды, обеспечивающие возможность плоской задач" (см. § 1.5),
составляют подмножество сред, удовлетворяющих! условиям
плоскопараллельного движения ударника (см. § 3.5)1 Поэтому
рассматриваемый тип контактной задачи возможен дшй анизотропных сред с
плоскостью симметрий; ортотропной, транс-1 версально-изотропной,
изотропной сред и сред с кубической симметрией. Причем это справедливо
