Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
[158] рассмотрена кусочно-однородная среда в виде упругой полуплоскости,
покрытой системой плита-акустический слой.
Разновидностью задачи с заданными граничными условиями является
вариант подвижных границ носителя краевых условий. Непосредственное
применение преобразования Лапласа при произвольном законе изменения, во
времени границ носителя
151
затруднено. Поэтому в имеющихся публикациях в основном рассмотрены случаи
расширения носителя. В работах [50, 2451 рассмотрена плоская задача при
задании нормальных напряжений на равномернодвижущейся полупрямой.
Показано, что вид реше! ния существенно зависит от диапазона, в котором
находится скорость движения. В первой из этих двух работ решение
построено с использованием метода Винера-Хопфа. Проведено сравнение со
стационарной задачей. Существенное отличив! заключается, например, в том,
что стационарное решение при скорости, равной скорости волн Рэлея, не
существует. В статья [231] исследована плоская стационарная задача при
задании нормальных перемещений на равномерно расширяющемся отрезке!
Автомодельность задачи достигается не только за счет постоянства скорости
расширения, но и вследствие однородности функции! задающей распределение
перемещений. 1
В этой главе приведем результаты исследований контактныя напряжений в
плоской задаче для упругого изотропного полупроЦ странства и абсолютно
жесткого тела. •_!
§ 4.1. Интегральное представление контактных напряжений!
Рассмотрим плоскую контактную задачу для изотропного полупространства
и абсолютно жесткого тела в условиях свобод! ного проскальзывания (см. §
3.1). Из принципа суперпозиция (2.13) и граничных условий (3.9) с учетом
обозначений функций влияния (2.16), (2.52) и (2.53) для изотропного
полупространствЩ имеем следующее представление контактных напряжений:
1
аЗЗо(*,т) = "з0(*> т) * Г/*, г), хх = х, 1
(4.Ш
supp ы30 = Du = {(дс, г) I х 6 Q#, Г > 0}. I
Здесь QJj)-носитель перемещения и30 (см. (3.29)) как функции
пространственной координаты, функция Г^х, г) определена фор-:
мулами (2.57), производные понимаются в обобщенном смысле;; звездочкой
обозначена свертка по обеим переменным.
Формулой (4.1), как интегральным представлением контактны^
напряжений, напрямую воспользоваться нельзя по двум причинам. Во-первых,
как отмечено в § 3.2, в общем случае область контакта! Q С и перемещения
на множестве Яц\Я неизвестны и должны,
быть определены в процессе решения; во-вторых, в (4.1) входят* обобщенные
производные.
Далее во всех исследованиях для изотропных сред в качестве;
параметров, которые используются в безразмерных величинах:;
(1.81), (1.99) и (1.112), выберем плотность материала полупро-; странства
(pt = р) и скорость рарпространения волн растяжения-5
152 j
сжатия (сф = с^. Тогда из (1.81) и (1.99) будем иметь (см. также (2.69)):
у = 1, Г)J = 1, Г)г = Г), рх = 1, рг = 1/у2, 1 - к = 2trj1. (4.2)
Первая сложность использования формулы (4.1) снимается, если
рассматривать сверхзвуковой и критический режимы взаимодействия (см. §
3.4), характерные для ударников, ограниченных гладкими выпуклыми
поверхностями, в начальные моменты взаимодействия. С использованием
безразмерных параметров (4.2) из (3.89) для сверхзвукового режима имеем
vN >1, а для
критического-vN =1. В этих случаях взаимодействия, как
отмечено в § 3.4, носители перемещений и"30 и напряжений
г7,,п совпадают (см. (3.90)): D = D = D, Q =?2, и перемещения
JjU Ц (7 U
м30(х, т) известны из граничных условий (3.9).
Для проведения исследований и расчетов контактных напряжений а330
необходимо, чтобы в окончательные формулы входили
обычные производные функций. Поэтому приведем следующие преобразования
[38, 72].
Используя свойство обобщенного дифференцирования свертки [47, 95] из
(4.1), найдем:
°ззо = "зо<х>т) * *)• (4-3)
Из формулы (2.57) следует, что функция Т?х, т)-однородная
степени (-1), так как для любого а > 0 Т^ах, са) = а~1Т^х, т). Поэтому
для нее справедливо равенство:
+ гЛ= ~гг =
Решим это уравнение относительно Г,:
i> = + С(х)д(т), (4.4)
Где С(х)-некоторая функция от х.
Для определения С(х) используем преобразования Лапласа и
Фурье. Для однородного изображения (см. (2.53)) имеем
равенство:
Тогда для пфзого слагаемо.-^ в правой части (4.4) по свойства"^
преобразований [116, 182] с учетом формул (2.53) и (2.58),' найдем
LF
ds =
