Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
М3-у ш3^2,1 Г (3.167)
Отсюда следует, что для анизотропных сред с осью симметри третьего и
четвертого порядков, трансверсально-изотропной, изо ройной среды и среды
с кубической симметрией М3 = 0, так
(см. (3.84)). Таким образом, для этих сред даже nj
жестком сцеплении вращательное движение происходит независимс от
деформаций полупространства, и поэтому второе уравнение 1 (3.156) может
быть отброшено.
В случае вертикального движения осесимметричного ударнике без
вращения из (3.156) получаем начальную задачу (3.139) илй эквивалентную
ей (3.142), ще зависимость S(A) определяется формулой (3.166).
Достаточным условием существования и единственности решения задачи
Коши (3.142) является ограниченность производных F'h и К в окрестности
точки (0, VQ3, 0). Ограниченность
вытекает из структуры функции F и непрерывности S(A). Условием
ограниченности F'h является /"(0) 0. Действительно^
как следует из (3.164), (3.166) и формулы для А, справедливы соотношения:
а2 = S'(A) = 2тга2(А)а'(А),
148
lim S'(h) = 2л lim a2(h)aWi) - (3.168)
Л-"о h-* 0
= -2л lim a2(A)//,'(a2) = -2л/"(0), Л-
"0
где учтено, что в силу гладкости поверхности П10 /'(0) = 0.
Таким образом, при условии /"(0) * 0 для осесимметричной
задачи решение (3.142) существует и единственно. Тем не менее аналогично
плоскому случаю задача (3.142) может быть сведена к начальной задаче
(3.144) для уравнения первого порядка, интеграл которой при = 0 имеет вид
(3.145).
Используя формулы (3.116)-(3.122) при д = у13 = 0, (3.143)
и (3.159), приведем выражения радиуса а2(Л) области Q, ее
площади S(h), функции Fj(ft) и интегралов (3.145) для трех
типов поверхностей вращения.
1. Параболоид вращения
П: 2уъ = -г2/*,
d 2("сЗ + Узз) ~ 21г' "сОЗ + У33 о2(Л) = dVa = V2ah, S(h) = htah,
(3.169)
F№ = Y^^h2,
dh
r = v"(0 HL f
YfiVnaJoA2_h2
2. Эллипсоид вращения П: y3 = cVl - г*/а\
2V,
-In
03
A + h
A-h
A2 =
mV,
03
33a
aJK) = -V/i(2c - h), S(/i) = -4-7i(2c - A),
c с
(3.170)
^ЗЗ"2 2 ^l(A) = -f-k2(3c - h), 3c m
о 2 h
3c m
т =
3cm r dh
лу^а2{ h3 - 3ch2.+ A3'
A3 =
Зс2m V.
03
луц\la2'
3. Двуполосный гиперболоид вращения П: у3 = -cVTTTW,
е=с> #. Ъ.*^г. 1, т±в.'
S(h) = ~h(2c + Л), с
FAh) = ;--~Л2(Зс + А),
Зет
г = -
, 2 А Зс т
/
dh
- Л3-,, л -
Зс2тК
03
(3.171
яу/4за0 А3 + ЗсЛ2 - Л3' жу^а2
Индекс I в обозначении коэффициента указывает на та
контакта между ударником и полупространством: I = 1-жестк контакт, I -
3-свободное проскальзывание.
Расчеты для трех указанных поверхностей вращения при те) же
значениях параметров, как и для плоской задачи (см. § 3.6) | показывают,
что результаты соответствуют приведенным гра фикам на рис. 3.2-3.6.
Поэтому могут быть сделаны такие Ж1 качественные выводы, как и для
плоской задачи.
1
J
Глава 4. КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
Интегральные характеристики, определенные в гл. 3, не полностью
описывают контактную задачу. Во многих случаях необходимо знание
распределения напряжений в области контакта. Вообще задача определения
контактных напряжений является достаточно сложной и в относительно полном
объеме будет рассмотрена в гл. б. Предметом исследований в этой и
следующей главах будет являться сверхзвуковой режим взаимодействия. В
этом варианте контактные напряжения фактически могут быть определены из
решения нестационарной задачи для полупространства при заданных на его
границе перемещениях.
Решение задач с распределенными на границе полупространства заданными
возмущениями (краевые условия несмешанного характера) может быть получено
либо с использованием принципа суперпозиции для линейных задач и функций
влияния, либо напрямую с применением тех же методов, что и для
сосредоточенных нагрузок. Построение интегральных уравнений для упругого
полупространства с помощью запаздывающих потенциалов дано, например, в
монографии Г.М. Мюнтца {129].
Плоская задача о динамике упругой полуплоскости при задании на
отрезке границы нормального напряжения, изменяющегося по времени скачком,
исследована в работах [14, 18] с помощью интегральных преобразований.
Численные методы конечных разностей или граничных элементов для этой
задачи использованы в [83, 175, 228, 271]. Метод асимптотически
эквивалентных функций для варианта задания смещений на границе
полуплоскости использован в [213]. Случай периодического изменения
перемещений или напряжений в граничных условиях исследован в статье [85].
Вариант сплошной среды, описываемой одним волновым уравнением, рассмотрен
в [97, 127]. В последней работе использована формула Грина. В работе
