Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
уравнения движения вокруг центра масс на оси Оу1 и Оу2 (3.4м
были однородными: 1
Re2 = Меу1 = МеуЗ = °> *2 = МуХ = МуЗ = 0' <ЗЛ00>
а также выполнялись соответствующие начальные условия (3.8):
ис02 = V02 = Ш01 = шоз = °- Ро = "л/2> V'o = я/2. (3.101)
Учитывая связь координат векторов в двух системах координат (3.4):
00yl = wjcos ^ - w3sm 9, соу3 = tuj sin д + со3 cos 9,
соу2 = соМу = Myl cos 9 + МуЪ sin д, М2 = Му2, (3.102) 3
Af3 = -Myi sin д + Муj cos д, из (3.99)-(3.101) дополнительно получим
"V = = °> Ме1 = МеЪ = М1 = М3 = °' (ЗЛОЗ>
Определим, для каких типов анизотропных сред возможно! указанное
плоскопараллельное движение. Для его обеспечения,! как следует из (3.100)
и (3.103), достаточно равенства нулю] контактной силы и моментов М^ и М2
в формулах^
(3.93)-(3.96). !
Заметим, что при плоскопараллельном движении точка 02
(см. рис. 3.1) лежит на оси Ох}, и оси Ох^ и совпадают. -
Область контакта Q симметрична относительно этих осей. \
Поэтому обращаются в нуль следующие геометрические ха- '
рактеристики ?2 (см. (3.90), (3.92) ): $22~ *2 2k = *2 к2 = ^ (Л: ==
1,3). С учетом этого факта, а также условий (3.99), j
130 ]
кинематические интегральные характеристики задачи (3.90)- (3.92)
определяются так:
t/j = Si = uclS + S2 V U2 = S2 = 0, U3 = S3 = uc3S + S2 3,
Vl = "cl5 + Ш252,3' V2 = *3 = "c3S " C02S2,V
*2,11 = "clS2,l + ш 2^2,13' *2,31 = "clS2,3 + ^Л.ЗЗ' (3.104)
*2,13 = "c3S2,l " (02I2,lV *2,33 = "c3S2,3 " CU2/2,31'
*2,21 = *2,23 = V2,k2 = 0 (*=1,2, 3).
Тогда контактные силы и моменты для произвольной анизотропной среды, с
учетом свойств матрицы К (3.52) равны (см. (3.93)-
(3.96)):
жесткое сцепление
^--У^'П+^з). "l = "d*2 + 4?Sl-M2=-"C3*l-4'l4+>'HKll+^V2,lз)'
<ЗЛ05>
,W3 = -y(tt^2lV2,4 + ¦"23^2,1 з) '
свободное проскальзывание
*1=*2 = 0' Л3=-^зЧ
- (3.106)
m,=m3 = 0, M2 = ^gv2J3.
Из формул (3.106) следует, что при контакте в условиях свободного
проскальзывания плоскопараллельное движение ударника, обладающего
плоскостью симметрии, возможно для любой анизотропной среды. При наличии
жесткого сцепления рассматриваемый тип движения ударника возможен для
таких сред, у которых = ц(}) = о, к(2) _ к(1) _ о. Из § 3.3 вытекает, что
последнему условию удовлетворяют все рассмотренные частные случаи упругой
симметрии за исключением среды с осью симметрии второго порядка.
Таким образом, плоскопараллельное движение ударника определяется
следующей начальной задачей для системы квазилинейных дифференциальных
уравнений (3.4)-(3.6), (3.8):
где внешние силы Rgl, 'Rg2 и момент Mg2 считаются заданными а контактные
силы R{, R2 и момент М2 определяются равенствам!
или (3.106) будет замкнута, если выразить геометрически* параметры S, S2
( , S2J, /211 и J21J области контакта ?2 чере!
перемещения "с1, ис3 и угол поворота - ударника Длз
вычисления этих характеристик необходимо знать границу дС, области
контакта, которая в свою очередь определяется перемещениями, углом
поворота и формой поверхности П0<
Ограничимся случаем явного задания П0 (см. (3.17)), вд
функция / удовлетворяет условиям (3.98). Тоща уравнени поверхности П в
любой момент времени следуют из (3.18) учетом формул (3.99) для элементов
матрицы преобразовани
хз = исЗ ~ У1 sin # + f(yv Уг> "s
Уравнения, задающие кривую 3Q = П П П10, следуют и (3.108) при *3 =
0. Исключая из них yj и у2:
получим уравнение dQ в системе координат 02ziz2 в слвДУ*(tm)*6*1 виде:
Вектор нормали к поверхности найдем из (3.19) с учетом связи
координат векторов в двух системах координат или непосредственно из
(3.15) с использованием уравнений (3.108): }
Nx = j cos fl + sin fl, N2 = f!y2, N3 = f j sin fl + cos fl. (3.111)
j
Тогда связь начальных условий в (3.107) может быте получена из
(3.16), (3.108) и ^3.111) с учетом (3.101):
(3.105) или (3.106).
Задача (3.107) совместно с соотношениями (3.104), (3.1051
П: *i = uc\ + cos ^ + /Ор У2) sin Х2 = мс2 + ^2'
(3.108;
Ух - Zj cos fl + uc3 sin fl, y2 = zy zk = xk~ uck (к = 1,2), (3.109)
dQ: Zj sin d - f(z{ cos fl + uc3 sin fl, z2) = uc3 cos fl.
(3.110)
132
Wc01 + J'lO 008 *0 + ^10' У20^
У20 = °> uc03 - У10 sin д0 + ЛУю" ^2o) "* ^0 = °*
После некоторых преобразований приходим к системе трех уравнений
относительно начальных значений параметров y]Q,
Здесь второе уравнение из (3.112) отброшено, так как оно выполняется
тождественно в силу гладкости функции / и симметрии задачи (3.98).
Скорость t/д, изменения области контакта Q, необходимая для
