Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
как для контакта в| условиях свободного проскальзывания, так и при
жестком сцеплении.
Начальная задача, определяющая движение ударника в плоской задаче,
по-прежнему определяется формулами (3.105)-1 (3.107), ще под массовыми
характеристиками ударника от и /2,
силами Rgl, Rg3 и Ry моментами Mg2 и М2 и геог метрическими
характеристиками области контакта S, S21, S2 3, /2 и и / следует понимать
соответствующие погонные величины. Уравнения цилиндрической поверхности
П, ограничивающей ударник в любой момент времени, следует из (3.108):
'
Область контакта ?2 переходит в отрезок, границы которого определяются,
как вытекает из (3.110), так:
^ = ^а2Р a2r^' zi = 1а2Р а2г^'
Zj sin ft - f(zx cos ft + мс3 sin tf) = uc3 cos ft.
Связь начальных условий сохраняет вид (3.113) с заменой функции двух
переменных /(УХ,У2) на f(yx). Упрощаются формулы для координат
нормального вектора (3.111) и для скорости изменения й (3.114):
Nx = -f(yx) cos ft + sin #, N2 - 0, N3= f(yx) sin ft + cos ft,
П: Xj = ucX + yjCosd + f(yx) sin ft, хз = uc3 ~ yisin & + A?i) "s &
(3.126)
(3.127)
Г
VN = WliKl - W2Uc3> + N3("c3 - 0)2zi) У I N\ I"
(3.128) ;
Z1 = {'h.l' = zlcos & + uc3 Sia
\
136
Для ударников, ограниченных цилиндрическими поверхностями с
направляющей в виде алгебраической кривой второго порядка, область
контакта определяется так (см. (3.115)):
dQl 1 21 ~ Z10 I = а2>
(3.129)
а21 " Z10 а2> a2r~ z10 + °2'
Уравнение (3.129) формально может быть получено из (3.115) предельным
переходом д2 -* ".
Для трех типов цилиндрических поверхностей: параболический цилиндр
По: 2(У3 " Узз) = -(У! ~ Ув)2/^ (а > 0), (3.130)
эллиптический цилиндр
П0: у3 - У33 = cV 1 - (yt - Уу^/а1 (а, с > 0), (3.131)
гиперболический цилиндр
П0: Уз - У33 = -cVl + (у{ - У13)1/а^ (а, с > 0) (3.132)
остаются в силе соответственно соотношения (3.117) и (3.118), (3.120) и
(3.121), (3.123) и (3.124), ще 6-*".
Такие геометрические характеристики области контакта Я, как площадь
(длина), статические моменты и моменты инерции отрезка [а2[, а2/.]
определяются так:
S = 2^, S2 l = z105, /2>11 = ^z10 + 03/3^5. (3.133
Вычисление величин S23 и 1213 в силу громоздкости
приведено в приложении Б.
Частным случаем плоской контактной задачи является вертикальное
движение цилиндрического ударника. При этом полагаем, что падающее тело G
обладает геометрической и массовой симметрией: ось С^3 совпадает с осью
неподвижной системы
координат Ох3 и функция / в уравнении поверхности П0 (см.
(3.125)) четная, /(-yt) = /(у^. При вертикальном движении
отсутствует смещение центра масс вдоль оси Ох{ и вращение
вокруг оси Ох2:
ис1 = д = (о2 = 0. (3.134)
Уравнение подвижной цилиндрической поверхности П имеет вид (3.126):
П: *з ~ "сз =4Axi)' *1 = yi = zv (3.135)
137
точки О и Ог как и оси Ох 1 и 02zr совпадают) а область Q
является симметричным относительно Ох2 отрезком: ^
?2. ['"^2" ^*21* Да2^ ^ ис03 ^
А = "сз-""оз' "г-/¦'(-*-""в)- <3л36)!
J
Здесь А-глубина погружения ударника, f~l(x3)-функция обрату ная к /(Xj)
при Xj > 0. Ее существование, равно как ш
единственность определения радиуса области контакта а2, обес-J печивается
гладкостью и выпуклостью поверхности П.
В силу симметрии области контакта и условий (3.134) для
геометрических характеристик отрезка ?2 из (3.104) получим
U{ = SX= 0, S2 l = 0,
*1 = *2,11 = *2,13 = °. V3 = Uc3S = И. (3.137)
Для вертикального движения первое и третье уравнения в (3.107) должны
быть однородными: Rgl = Rx = Mg2 = М2 = 0. Как следует)
из (3.106) и (3.137), равенство нулю силы Rx и момента М2 я
случае свободного проскальзывания обеспечивается для любой из указанных в
этом параграфе анизотропных сред: плоско симметрии, ортотропные среды и
среды с более высоким порядков симметрии. В случае жесткого сцепления для
R^ R^ и М2 и&
(3.105) получим с учетом (3.137):
Rl = -У^13^3' *з = ~У$з*3' *2 = ~uc3Rv (3.138)j
Равенства = М2 = 0 эквивалентны требованию = 0. Таки*
образом, как следует из § 3.3, вертикальное погружение ударника в плоской
задаче возможно только для ортотропной среды и сред с более высоким
порядком симметрии.
Теперь с учетом всех сделанных замечаний из (3.107) получим начальную
