Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
56 В сопутствующей системе координат касательные векторы ит имеют вид цт = дхт/дт = {0, 0, 0, и\ Учитывая условие их нормировки UmUm=—с2, окончательно находим um = cg"'/\l — Следовательно, промежуток физического времени dt и пространственное расстояние dl между событиями X1 и х'4-dxl принимают форму
dl= - -jr-umdxm= -^j^-dx*).
dl'1 = hmndx'"dxn = ) dxadx
Отметим, что получившееся выражение для проекционного тензора Iirnn (fiu = Iiifx = 0), играющего роль метрического тензора физического 3-мерного пространства, с точностью до обозначений совпадает с тем, которое было получено в [75) с помощью исследования распространения световых сигналов. Разумеется, это совпадение отнюдь не случайно. Его причина кроется в том, что в основу расщепления 4-мерного псевдориманова многообразия на физические пространство и время была положена локальная справедливость специальной теории относительности, в том числе и предположение о постоянстве локально и шеренной скорости света в любых гравитационных полях и неинсрциальных системах отсчета. Именно это предположение и позволило, записывая интервал между событиями X1 и А'Ч-dxl в виде ds^ = dl2 — c2dt2, интерпретировать dl и dt как 3-мерное пространственное расстояние и промежуток времени между этими событиями.
Как мы только что увидели, задание системы отсчета позволяет ввести в 4-мерном псевдоримановом многообразии физические (в общем случае локальные) 3-мерное пространство и 1-мерное время. В отличие от классической физики в квантовой механике 3+1-расщепление должно быть глобальным, так как локальные пространство и время лишены какого бы то ни было физического содержания. Разумеется, не все системы отсчета удовлетворяют этому условию. Поэтому для квантовой физики особый интерес представляют так называемые нормальные (не-вращающиеся) системы отсчета и системы отсчета одиночного наблюдателя, которые как раз и обеспечивают 3+1-расщеплепие в конечной области пространства-времени.
Нормальные системы отсчета. Нетрудно показать [7С)|, что если тензор угловой скорости (2.76) равен нулю,
57 то в конечной области пространства-времени существуют 3-мерные пространственноподобные гиперповерхности / (X), ортогональные конгруэнции мировых линий тел отсчета (2.75). Параметр к выберем так (а это всегда можно сделать), чтобы для всех линий конгруэнции он имел одно и то же значение на каждой из гиперповерхностей f (к). Тогда уравнения 3-мерных ортогональных к конгруэнции мировых линий гиперповерхностей будут иметь особенно простой вид к (х1) = const. Разумеется, в общем случае к не совпадает с собственным временем т, определенным вдоль каждой из мировых линий тел отсчета, а связан с ним более сложным образом: т = т (уу к). Поэтому касательные векторы 11 = дх1/дк не являются векторами 4-скорости и1 = (дXі/дт)у=C0nsiy но пропорциональны им:
Ii = C-lNui, (2.80)
где
N =zcTk =VzrIb- (2.81)
Вместе с тем векторное поле ?'(уД) ортогонально (по определению) гиперповерхностям X = Const. Следовательно, Ii = Ctk i. Учитывая, что X1-^1=I, и используя (2.81), находим a= — N2y т.е.
Ii=-N2Xi. (2.82)
Гиперповерхности f(k) будем рассматривать как 3-мерное физическое пространство, введенное в данной системе отсчета, а параметр к — как время, определенное глобально (в конечной области пространства-времени). Разумеется, в общем случае к не совпадает с физическим временем dt=-C-2UiClx1y определяемым локально. Однако параметр к всегда можно выбрать так, чтобы к = т для какой-нибудь одной мировой линии конгруэнции, т. е. в этом случае время к будет совпадать с собственным временем одного из тел отсчета.
Для нормальных систем отсчета можно определить производную по времени к как производную Ли вдоль конгруэнции вектора [77]: для любого геометрического объекта Ba (здесь А — собирательный индекс) Ll8Asss Iim В'АІР)-В\Р) ^
ЛХ-^О АЛ
где точка P лежит на f(k) для любого момента времени к. Для нормальных систем отсчета всегда можно подо-
58 брать такую систему координат, что в качестве параметра К нумерующего гиперповерхности /(X), будет выступать координатное время х4 = сХ. В этом случае векторы и л. , имеют следующие компоненты:^ = (0, 0, 0, с), I = ClfiurfT4I ^ll = IO. о, 0, IM X'с-[[^gu]. Следовательно, N = c V —м' = {0, 0, 0, с/л[— ^44). Подставляя эти выражения в (2.76), находим, что условие Wmn = O эквивалентно условию ga<i = ga4 = 0.
Формулы (2.80) — (2.82) позволяют построить нормальную систему отсчета, исходя из однопараметрического семейства гиперповерхностей f (Х):Х(х1) = const, плотно заполняющих конечную пространственно-временную область Q9). (Подробнее об этом см. [45, 77, 78].)
Система отсчета одиночного наблюдателя. Хотя использование нормальных систем отсчета и позволяет в конечной 4-мерной области ввести 3-мерное физическое пространство и время X, эти системы отсчета, очевидно, не исчерпывают всего многообразия систем отсчета, представляющих определенный интерес для физических приложений. В частности, особенно интересными для построения квантовой механики являются системы отсчета одиночного наблюдателя, позволяющие осуществить глобальное 3+ 1 -расщепление пространства-времени [66, 79, 80]. Эти системы в конечной области 4-мерного пространства-времени задаются движением одной материальной точки (наблюдателя), движение которой описывается временноподобной мировой линией
