Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
а) = I?- б) = +(SZ)V, (2.58)
При выводе последнего соотношения было сделано предположение, что ковариантная производная любого вектора, в том числе и базисного, является вектором этого же пространства, и поэтому она может быть разложена по полному базису, например |bva/b\> =(S/)*|vb> . С помощью аналогичных рассуждений получим:
бл /'
50 a) -TT-Lab— -—La —Lu Lc "f" La Sc , , , (2.59)
б) ±1%= ^-Zab+{s~°)'10Cb-lacVbC)'.
Соотношения (2.58) и (2.59), записанные в более компактной матричной форме, принимают вид
(2.60)
(2.61)
Дифференцируя соотношение (2.6), находим интересное соотношение
V + = G-| G-G~^G(G = dG/dK), (2.62)
которому должна удовлетворять матрица 2, играющая такую же роль, как и скобки Кристоффеля в римановой геометрии. Из (2.62), в частности, следует, что ковариант-ная производная единичного оператора /, записанного в виде (2.23), тождественно равна нулю:
6//бХ = 0. (2.63)
Умножая обе части уравнений (2.46) на <ue|, находим aHA-f-A 6) f = (§).. (2.64)
где (дLf(JK)vx — представление оператора (дЯ/дК)ех относительно базиса I va> . Раскрывая ковариантную производную в уравнении (2.64, а), получим ih дЧ*/дК = ЙЧ*, где использовано обозначение
fi = (?e + ihl). (2.65)
Из эрмитовости оператора Гамильтона (см. § 2.3)
W+=W или We = W (2.66)
и соотношений (2.62) и (2.65) следует, что
/7+ = G-1HG-HIG- 16\ (2.67)
51 fi®^Gfi+G-l = fi-ihGG-1. (2.68)
Так как Я в общем случае не является представлением оператора Гамильтона, то Hф необходимо рассматривать как удобное обозначение.
В случае представления относительно базиса (контрапредставления относительно базиса ) уравне-
ния (2.64) сохраняют свою форму, а все последующие соотношения могут быть получены из (2.65) — (2.68) путем замены G-+G~\ 2-+--2 + .
Очевидно, что матрица 2 зависит от конкретного выбора базисных векторов. В частности, если в качестве базисных векторов в S выбрать ортонормированные невырожденные собственные векторы некоторого не зависящего явно от времени эрмитова оператора то матрица 2 обратится в нуль.
Действительно, пусть \va,> —собственные векторы эрмитова оператора
&\va> =LJi>e,>, (2.69)
причем такого, что /SX = O, а все его собственные значения La> не вырождены. Тогда, дифференцируя уравнение (2.69) по А, и умножая обе части полученного равенства на <CvJ (векторы \va,> ортонормированы, <vjvb,> = = ба,6,), получаем La,ba,b, = {La, — Lb)<vJSva,/bX>. Полагая а' = Ь\ находим La, = 0, т.е. собственные значения не зависящего явно от времени эрмитова оператора не зависят от времени. Полагая а'фЬ\ имеем <vb,\bva,/bX> = 0. Следовательно, вектор параллелен векто-
РУ I ua'> * Т- Є- I6ffl,/6X> =Yl Ua'> • КаК ВеКТОрЫ
\va,> нормированы на единицу, то у = 0. Значит, \6va./6k> = 0.
Для произвольных базисных векторов \ип> можно записать |6и„/0А,> =Da'n\ua,> , где в соответствии с (2.17) было введено обозначение
Da n = Da,= < vj vn>. (2.70)
Следовательно, в общем случае 2m" = (Oa'm)*Da,kGkn, откуда, используя соотношение (2.18) и переходя к матричным обозначениям, получим
2 =D+(D+)"1, 2 + =T-DD"1. (2.71)
Не представляет труда убедиться, что полученное выра-
52 жение для матрицы S действительно удовлетворяет условию (2.62).
Имея в виду дальнейшие приложения, исследуем зависимость от времени вырожденных собственных векторов некоторого эрмитова оператора, явно не зависящего от времени.
Пусть U'(iVI> — собственные векторы эрмитова оператора Sf4 Я\ииЛ> = La\vaA> , собственные значения которого Л^-кратно вырождены (Л = 1, 2, 3, ... , Na). Так как оператор Я эрмитов, то
<<VvKv> = 6a/)[G (a)]Av, где для каждого фиксированного a G (а)—некоторая эрмитова матрица (ср. (2.6)). Поступая аналогичным образом, как и в случае, когда все собственные значения невырождены, получим
= vb\8ua,/8X> . (2.72)
Полагая а = Ьу находим, что и в случае вырождения La = O1 т.е. собственные векторы явно не зависящего от времени эрмитова оператора постоянны. При афЬ из (2.72) следует, что для любого а вектор |6uaV/6A> лежит в собственном пространстве вектора \иа> , в котором в качестве единичного оператора выступает проекционный оператор
/и=Кх> < UiiaI=Oa-IUiiл> <fav = = \v> Cifl Gv/
(по а не суммировать!). Следовательно, для произвольного, но фиксированного значения а вектор |6uaA/6X> может быть разложен по базисным векторам |uavi> :
|ouflX/8X> =[Г(а)К-|ов2>.
где [X (а)|х-= <6иаЛ/Щ v~> . Причем матрица 2(a) удовлетворяет соотношению (2.62), в которое для каждого значения а следует подставить свою матрицу G (а)== = (|G(a)|Xv). Используя соотношение (2.62), находим
6/tf/6X = 0. (2.73)
Матрица S (а) также может быть представлена в виде (2.71)
V (a) = D+(a) (D+ (а))"1, 2 + (а)= - D (a) D "1 (a),(2.74) где матрица D (а) устанавливает связь между ортонорми-
53 рованными, не зависящими явно от времени базисными векторами |иаЛ'> (введенными в собственном пространстве вектора |ua>) и |иаЛ>.
§ 2.5. Понятие системы отсчета
в квантовой механике
В отличие от классической физики уже сама формулировка основных положений квантовой механики не мыслима без расщепления 4-мерного псевдориманова многообразия на 3-мерное пространство и время, т. е. без 3+1-расщепления. Дело в том, что в описывающие динамику физической системы уравнения движения (2.46) в гильбертовом пространстве явным образом входит время, играющее роль внешнего параметра, в то время как физические величины (наблюдаемые) описываются с помощью эрмитовых операторов. Тем самым время выделяется по отношению к пространственным координатам. Следовательно, при построении квантовой механики во внешних гравитационных полях понятие системы отсчета играет существенную роль.
