Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Что же такое система отсчета в квантовой механике? Являясь идеализацией некоторого комплекса приборов, служащих для измерения в первую очередь пространственных расстояний и промежутков времени, она — объект макроскопический, неквантовый. Поэтому можно сохранить .определение, принятое в классической физике, и понимать под системой отсчета «идеализированную совокупность конечного или бесконечного (континуума) числа пронумерованных пробных тел, снабженных приборами для измерения времени и расстояний» [45, с. 9]. Таким образом, математической моделью системы отсчета в классической физике могут служить конгруэнция временнопо-добных векторов (монад), касательных к мировым линиям тел отсчета, поле четырех взаимно ортогональных векторов (тетрад) и т.д. В квантовой физике математическому описанию системы отсчета соответствует переход к координатному представлению (см. § 2.6). Здесь же очень кратко остановимся на монадном способе задания системы отсчета *), который нам понадобится в дальнейшем.
В основе этого способа лежит представление о континууме идеализированных тел отсчета или наблюдателей,
Подробное изложение этого вопроса можно найти в [45| (см. также [66—69]).
54 каждый из которых располагает стандартными часами. Если каждое тело отсчета можно рассматривать как сферически симметричное (т.е. в виде материальной точки), то для исчерпывающего математического описания системы отсчета достаточно задать конгруэнцию мировых линий тел отсчета
У = (2.75)
где числа jya(a=l, 2, 3) обозначают «номера» мировых линий (частиц); К — непрерывный параметр, определенный вдоль каждой мировой линии. Конгруэнции (2.75) можно однозначно поставить в соответствие поле времен-ноподобных векторов I1 {уаЛ)=дх1 (уа, Х)/дХ, касательных к мировым линиям конгруэнции — монад. Обычно в качестве параметра X выбирают собственное время т, т.е. время, отсчитываемое по часам, закрепленным на телах отсчета. В этом случае векторное поле %(уа,Х) совпадает с полем 4-скоростей тел отсчета
?W(j/»T)=oy(j/A,T)/OT, UiUi= -с2.
Промежутком физического времени между событиями X1 и х' -f- dx' естественно назвать величину (вообще говоря, не полный дифференциал) dt= —c~2Uidx\ которая в случае, когда оба эти события лежат на одной и той же мировой линии, совпадает с интервалом собственного времени: dx = dt. С помощью симметричного тензора hmn = gmn-\-4-C-2UmUn квадрату 4-мерного интервала между событиями X1 и xl-\-dxl можно придать вид
ds2 = g dxmdxn = dl2-c2dt2,
o т п '
где dl2 = hmndxmdxn. Так как псевдориманово пространство локально изоморфно пространству Минковского — математическое выражение принципа эквивалентности, то величину dl называют пространственным расстоянием между этими событиями. Поэтому тензор Zimn, ортогональный вектору ит (IirnnUrn = 0), может служить оператором проектирования на 3-мерное (в общем случае локальное) физическое пространство, ортогональное физическому времени.
Для инвариантной характеристики системы отсчета, заданной конгруэнцией (2.75), следуя идеям механики сплошных сред, ковариантную производную поля 4-ско-
55 ростей представим в виде ип.k=<unk + Dnk — с 2WnUk, где (более подробно см. [45, 70])
СOnk = kMu{i, (u)m = — -J- e(mnkl) UnUkl^ (2-76)
— тензор (вектор) угловой скорости системы отсчета;
Dnk = IiMuiii п (2.77)
— тензор скорости деформаций системы отсчета;
Wk= » UkimUm (2.78)
— ускорение системы отсчета.
До сих пор мы не делали никаких предположений относительно системы координат и все соотношения записывали в ковариантном относительно координатных преобразований виде. Однако монадный способ задания системы отсчета заметно упрощается, если систему координат выбрать так, чтобы конгруэнция координатных линий X4 (xa = const) совпала с конгруэнцией мировых линий тел отсчета (2.75), т.е. xa = fa(y\ у1, у%), xA = g(yat т), где fa и g — произвольные функции. Выбранные таким образом координаты являются сопутствующими, так как их пространственные значения для всех тел отсчета остаются неизменными. Разумеется, сопутствующие координаты определены не однозначно, а с точностью до так называемых хронометрических преобразований:
Xа'= ха'{х\X2, X3), хА' = хА'(х1.....хА). (2.79)
Выход за рамки группы хронометрических преобразований (2.79) нарушает условие сопутствия и соответствует переходу к некоторой новой системе отсчета. При таком подходе к описанию систем отсчета физические величины должны быть инвариантами относительно хронометрических преобразований Ч
Описание систем отсчета, основанное на использовании подгруппы координатных преобразовании (2.79), известно в литературе как формализм хронометрических инвариантов Зельманова. Не имея возможности подробно останавливаться на формализме Зельманова (см. [71], а также [36, 45, 47, 51, 72]), заметим лишь, что он может быть получен как частный случай монадного формализма. Исторический путь был, однако, иным. Вначале благодаря усилиям А. Л. Зельманова [71], К. Каттанео [73], К. Мёллера [74], Э. Шмутцера [36] и др. был построен координатный метод, основанный на подгруппе хронометрических преобразований (2.79), ковариантное обобщение которого и привело к созданию монадного способа задания системы отсчета.
