Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем, что ковариантные уравнения движения (2.46) полностью эквивалентны соответствующим уравнениям традиционной квантовой механики. Для этого в уравнениях (2.46) исключим ковариантные" производные. Тогда получим систему уравнений
(J^ + —/ЙГ), совпадающих с уравнениями движения традиционной квантовой механики (ср., например, [53]). Сопоставление систем уравнений (2.46) и (2.48) поясняет физический смысл аффинной связности Г, выбор которой определяется выбором картины. Так, например, в картине Шрёдингера Г5 = 0, в картине Гейзенберга
(2.48)
Г" =-4-ЯГ".
h
Из (2.46) следует, что существует оператор
(2.49)
47 обладающий свойством
, (2.50)
где <= <ЧгI&ЧГ> — ожидаемые значения оператора Я. Таким образом, оператор Я? описывает наблюдаемую «временное изменение наблюдаемой L» [53].
§ 2.4. Элементы теории представлений (неортонормированный базис)
Под ^-представлением в квантовой механике понимают переход от абстрактных векторов и операторов к их компонентам относительно ортонормированного базиса I иа> , где \иа> — собственные векторы некоторого эрмитового оператора S?, описывающего наблюдаемую L. Однако подобно тому, как при решении ряда задач классической (неквантовой) физики оказывается удобным, а в ряде случаев и необходимым, использовать криволинейные координаты, так и в квантовой механике иногда целесообразно рассматривать представления относительно неортонормированных базисных векторов.
Копредставлением или просто представлением вектора |ф> относительно базиса \vn> будем называть его ковариантные компоненты фя = <t/rt|ф> относительно этого базиса. Аналогично, контрапредставлением вектора |ф> относительно базиса \ип> (или представлением относительно базиса |ип>) будем называть его контравариантные компоненты фп=<уп|ф> относительно этого базиса. Различие между ко- и контрапредставлениями обусловлено неортогональностью базисных векторов
\Vn> .
Копредставлением или просто представлением оператора Я относительно базиса \ип> будем называть матрицу L такую, что для любого вектора |ф> из ?> выполняется соотношение
Wn= < VnI ^ф> = Г„тфт, (2.51)
где lFn — ковариантные компоненты вектора |XF> = 1) относительно базиса | vn> . Контрапредставлением оператора Я относительно базиса \vn> (или представлением относительно сопряженного базиса |уп>) будем называть матрицу Z такую, что
VFn = < t/11 = Іптц>т. (2.52)
48 Подставив разложение (2.25) оператора Я в (2.51) и (2.52), получим Lnm-LnkGkrn, Cnm = LnkGkmt где для матричных элементов оператора Я относительно базисов \vn> и были использованы обозначения
Lnk= <vn\?vk>, Lnk=<vn\&vk> .
Используя формулы (2.9) — (2.12), находим, что ко-и контрапредставления оператора Я связаны между собой посредством соотношений
Ls'" = G<kLknG""\ СnI = Gns LsmGmi,
или в матричном виде (ср. сноску на с. 34) L = GCG~\ C=G~] LG. Очевидно, что для ортонормированного базиса U'(/'> (G=I) различие между ко- и контрапред-ставлением стирается (Cf = Lf = Lft где Lf = (Lafh)). Представления оператора Я относительно базисов | ип> и \va> связаны между собой посредством матрицы D (2.17):
L = D + L' (D + )~ \ L = D~'UD. (2.53)
Если матрица L(C) является представлением (контра-представлением) оператора Я относительно неортонорми-рованного базиса \vfl> , то представлением (контра-представлением) эрмитово сопряженного ему оператора Я + в общем случае будет не матрица L+(L + ), эрмитово сопряженная матрице L(C), но^некоторая другая, для которой мы введем обозначение Le(Le). Используя определение операции эрмитова сопряжения и свойства матрицы G, находим
Z® = CjL + G-\ Ce = G~'C+G. (2.54)
Подставляя сюда (2.53), получим интересные соотношения
Le = Г+, Ce = L +. (2.55)
Из (2.54) следует, что эрмитовы операторы представляются в общем случае неэрмитовыми матрицами. Нетрудно также показать, что операция «®», определенная для матриц, обладает такими же алгебраическими свойствами (см. (2.20)), как и операция эрмитова сопряжения. Так, например, (LK)e = KeLe. Обобщая операцию «®» на представления векторов
cp® = (p + G-\ ф® = ф + Gf (2.56)
•1 З.чк 6718 49 где ф (ф) — матрица-столбец, составленная из ковариан-тных (контравариантных) компонент вектора |ф> , фя(фя), можно записать выражение (2.15) для скалярного произведения в более компактном виде
<ФІХ> (2.57)
Из (2.14) следует, что при этом имеют место соотношения, аналогичные (2.55): фе = ф+, фе = ф+.
Прежде чем записать уравнения движения (2.46) в представлении относительно базиса \va> , введем дифференциальный оператор 6/6А,, действующий в пространстве представлений и обладающий следующими свойствами: для любого вектора |ф> и произвольного оператора Я гильбертова пространства
Таким образом, бфа/бХ,(бфа/бА,) есть не что иное, как представление вектора |6ф/6А,> относительно базиса I va> (I va> ), а OLV/oA, и &Zab/6k — соответствующие представления оператора
Поэтому бф/бА,
и 6L/6A, в дальнейшем также будем называть ковариант-ными производными.
Используя свойства (2.39) и (2.40) ковариантной производной 6/6А, и ортогональность базисных векторов I va> и \vb> (2.10), без труда находим
