Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Y12: я= Y12, я+ ПУ2+ Г2вЛ' O = 2. (1-46)
Так как у12 — единственная отличная от нуля компонента фундаментального спинора, то оба члена, содержащие коэффициенты спинорной связности, можно представить в виде T^mY12. Тогда из (1.46) найдем
I^=-Y12Y12 т + 'Фт = Гт + '(Ф-п+вт), (1.47)
где были введены обозначения у, 2 = yeiB, Y= I Yj 21» Г = In у. Далее, умножая обе части уравнения (1.44) на onAF и учитывая соотношение (1.18), получаем
TL=--^-a^f(aMe.m-rLaMfl)- 4-Г/л/.
Из последнего соотношения после подстановки в него (1.47) следует окончательное выражение для коэффициентов спинорной связности
rBm=--°lAF (о і ABtm-Fkmi Vk дв) —
--5- VeF[r.« — / (Фт + е. „)]. (1.48)
Биспинорная связность. Ковариантную производную биспинора xF определим так*>:
4';m=4'.„ +T111M', (1.49)
Иногда можно встретить определение ковариантной производной биспинора, в котором перед Г„, стоит знак « —Очевидно, что в этом случае меняется знак и в соответствующем выражении, определяющем биспинорную связность.
29 где в соответствии с (1.8) и (1.43) для биспинорной связности Tm справедливо соотношение
гя=(г<Г JsA С-50)
N Mm
При координатных и спинорных преобразованиях ко-вариантная производная должна преобразовы-
ваться как одновалентный биспинтензор: W^=AmfnSW. „, откуда находим закон преобразования для Гш: Tm,= = Am,т (STmS~ ' — 5 mS~'). Учитывая ковариантное постоянство матрицы ? (ср. (1.11) и (1.45)), ?. ш = 0, коммутативность операций эрмитова сопряжения и ковариантного дифференцирования, а также соотношение
r+=-?Tm?, (1.51)
которое непосредственно следует из определения Tm, находим выражение для ковариантной производной сопряженного биспинора: ^m==xF w-xFrm. Из определения метрического биспинтензора (1.21) и соотношения (1.44) следует
Ym;* = Ym.* + [r*.Yj=0, (1.52)
где Ym-A=Ymft-TmitfY/- Заметим, что, используя алгебраические свойства Y-m3tPhU, из уравнения (1.52) можно найти биспинорную связность Tm. Однако этот же результат достигается значительно проще, если в соотношение (1.50) подставить найденное ранее выражение для спинорной связности (1.48). В результате, учитывая (1.17) и (1.28), после несложных преобразований получаем [36]
Г*= "Г ViYj, А ¦+ -f (Ф* + в. a) =F Г, ку. (1.53)
Если ограничиться унимодулярными преобразованиями в спинорном пространстве и положить Yi 2=' (т.е. T = 8 = 0), то Y-MaTPHUbi могут быть выбраны так: утh(k)m y{k\ В этом случае выражение (1.53) преобразуется к виду
гк=~-LhJ^yyr
Именно такая форма записи биспинорной связности наиболее часто встречается в литературе (см, сноску на с. 29). 30 Глава 2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
Изложение основ квантовой механики в искривленном пространстве-времени, которому посвящена настоящая глава, формально можно разбить на две части: формулировка основных уравнений для векторов и операторов в абстрактном гильбертовом пространстве и установление их связи с физическими величинами (наблюдаемыми); развитие теории представлений, необходимой для конкретных вычислений. Что касается основ квантовой механики, то они не претерпели практически никаких изменений по сравнению с тем, что было в случае плоского пространства-времени. Поэтому мы смогли ограничиться очень кратким перечислением основных положений квантовой механики и сосредоточить внимание на изложении вопросов, тесно связанных с неэвклидовостью пространства-времени. В частности, будет показано, что задание системы отсчета эквивалентно переходу к координатному представлению, в общем случае с неортонормированными базисными векторами.
§ 2.1. Векторы и операторы в гильбертовом пространстве
Определение гильбертова пространства
Гильбертовым пространством ?> будем называть такое банахово пространство***), в котором норма введена с помощью скалярного произведения, а само пространство 6 предполагается полным относительно этой нормы.
Следуя Дираку, векторы гильбертова пространства будем обозначать посредством «ящичка» | > и называть кэт-векторами. Напомним основные операции над векторами гильбертова пространства, непосредственно вытекающие из его определения.
Так как гильбертово пространство — линейное векторное пространство, то в нем определены операция сложе-
Наиболее глубокое изложение основ квантовой механики можно найти в книгах [52,53].
Подробное изложение общей теории гильбертовых пространств можно найти, например, в [54—57].
Банаховым пространством называется векторное нормированное полное пространство над полем комплексных чисел.
31 ния, ставящая в соответствие каждой паре векторов |ф> и 1х> из 45 однозначно определенный вектор Іф>+ІХ> из -б (поэтому часто будем пользоваться обозначением I ф-Ьх> )* называемый их суммой, и операция умножения на комплексное число, причем произведение вектора |ф> на комплексное число а есть вектор а|ф> ==|аф> , однозначно определенный и принадлежащий Указанные операции обладают следующими свойствами: коммутативностью |ф> + ІХ> = 1х> +1ф> ; ассоциативностью |<р> + (Ix > + |Ф> ) = (1ф> + + 1х> ) + |Ф> ; дистрибутивностью а(|ф> + 1х> ) = = а|ф> + аlx> , где |ф> , 1х> , єб, ає/( (К — поле комплексных чисел); существует нулевой вектор |0> такой, что |0> + 1ф> =1ф> для всех |ф> из ?>; для каждого вектора |ф> є§ существует противоположный вектор I—ф> , удовлетворяющий условию 1-ф> +1ф> = №>(№> ^0).
