Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
<va.\vb.> = ofl,fr,.
В этом случае различие между ко- и контравариантными компонентами стирается, так как \ va,> =\va'> . Поэтому
1Ф> = 2 \ va.> <^1Ф> ,
а'
где фи,= фа''= <Уа'|ф> . Разлагая базисные векторы |ит;> по ортонормированным базисным векторам I va.> , получим
\vm> = |ца.> Dam, (2.16)
где
Da'm = Da.m=<va.\vm> (2.17)
— компоненты векторов I Vm> относительно базиса \va,> , которые можно интерпретировать и как матрицу преобразования, связывающего базисы \vm> и \va,> . Подставив разложение (2.16) в (2.6), получим важное соотношение
Gab=I(D^)aa,Da,ЬУ т.е. G = D + D, (2.18)
а'
используя которое находим
|и«> = Da'т Gma\va,> =f(D~]aa\va,> .
Линейные операторы. Наряду с векторами в гильбертовом пространстве можно определить операторы, кото-
35 рые каждому вектору из 45 однозначно ставят в соответствие другой вектор, также принадлежащий $>*):
1ф> , ІХ> — -
Записывая \3?<р> вместо 3?\q>> , мы хотим подчеркнуть, что —тоже вектор гильбертова пространства.
Оператор 3? называется линейным, если для любых векторов |ф> и 1х> из 45 выполняются равенства ^Іф+Х> ==^ІФ> + JST\%> . ЗГ\а<р> ==а^|ф> , где а — произвольное комплексное число.
Сумму двух линейных операторов 3? и Jt определим как оператор {3? + Л\ в результате действия которого на любой вектор Iq» из 45 получается вектор, равный сумме векторов и \Jty> : {3?+Jt)\<f> —
™ДЧ<р> + иГ|ф>.
Произведением двух линейных операторов 3? и Jt назовем оператор (3?Jt\ действие которого на произвольный вектор |ф> (1ф>- эквивалентно действию оператора S на вектор \Jfq>> : 3?Jt\y> = 3?\Jty> = \3?Jty> .
Коммутатором (антикоммутатором) двух линейных операторов 3? и Jt назовем оператор \3?,Jt\ ({.2%^}), где
[ST4Jt]-SPJt- JtST, [ЗТ, Jt) = SftJt + Jtse. (2.19)
Оператор ST+ называют эрмитово сопряженным к &, если для любых векторов |ф> и 1х> из 45 справедливо соотношение <(р\3*%> = <.3"+ср\х> - Очевидно, что
= {ЗТ+ух^{ЗТ~х)+> (^JS?...)+== ^ ...ЗТ+Jt+у{аЗТ)+ = а*ЗТ+t{3T+Jt)+ ==ЗТ+ +Jt+.(2.20)
Среди множества линейных операторов особое место занимают так называемые самосопряженные, или эрмитовы, операторы 3?+ = или Сц>\ЗТ%> = <СЗ?(р\%>> • Если же U+ = т.е. U+U = UU+=I9 то оператор (У называют унитарным. Очевидно, для любых векторов
Если область определения оператора не совпадает со всем гильбертовым пространством, то необходимо проводить дополнительные математические исследования. Более подробно об этом см., например, в [54,55].
••) Строго говоря, не всякий эрмитов оператор (эрмитовы операторы математики называют также симметрическими) оказывается самосопряженным (различие связано с областью определения этих операторов [55]). Однако, следуя традициям, сложившимся в физической литературе, будем употреблять термин «эрмитов» в смысле «самосопряженный».
36 ІФ> и \х> скалярное произведение инвариантно относительно унитарных преобразований: CfApI ?/х> — — <ф!х>» поэтому унитарные преобразования не нарушают ортогональности векторов.
В качестве примера линейного оператора рассмотрим оператор |ф> Cxl. построенный из двух векторов с помощью операции внешнего произведения:
ю> 1ф> <xvU>, \к> = 1ф> <xl«>.
Определенный таким образом оператор в общем случае не эрмитов: (|ф> СхІГ"==ІХ> <фі?=іф> <ХІ- Если вместо векторов |ф> и 1х> возьмем единичный вектор Iа> (|а| = 1), то получим эрмитов оператор
Ia= \а> <а|(/в===/а), (2.21)
обладающий следующим свойством: /I = IJa = Ia* Оператор Iq называют проекционным, так как он каждому вектору |ф> ставит в соответствие вектор I а> Са|ф> , направленный вдоль \а> и равный (по модулю) проекции вектора |ф:> на направление, задаваемое вектором I а> . Отметим, что, как правило, не существует оператора, обратного проекционному.
Если векторы I vn> образуют полный базис в ?, т. е. для любого |ф> еф справедливо разложение (ср. (2.5) и (2.12))
ІФ> = 2 \vn> С vn I ф> , (2.22)
Л
то любой оператор из & можно представить в виде линейной комбинации операторов \vn> Ctimj. Действительно, вынося в (2.22) вектор |ф> за знак суммы и учитывая, что это разложение справедливо для любого вектора I ф> , находим следующее представление для единичного оператора:
/= 2 \vn> <vn\ = 2 lt>rt> Ctim|G"m =
п п. т
= S \vn> <VmIGnn= 2 Ivn> <vn\. (2.23)
л, т п
Соотношение (2.23) часто называют условием полноты базиса I un> (или |оя>). Для ортонормированного базиса I иа,> оно принимает вид
/==? \иа.> <Zva,I. (2.24)
O7
37 При конкретных вычислениях разложение (2.23) оказывается весьма полезным. Например, с его помощью не представляет труда разложить произвольный оператор по базисным векторам:
<? = /<?/= 2 2 GabGmn\Va> <Vb\<?Vm> <vn\ =
a,b m,n
= I1 I1 GabGm.n\va> <vb\<?vm> <t»"|. (2.25)
a,b m,n
Дираковские векторы. До сих пор мы предполагали, что рассматриваемое гильбертово пространство обладает счетным базисом. Однако решение ряда квантовомехани-ческих задач требует введения обобщенных гильбертовых пространств (см. сноску на с. 33), в которых уже не каждый вектор может быть представлен в виде (2.5). Для того, чтобы сохранить разложение (2.5), очень важное для физических приложений, в качестве базисных векторов можно использовать так называемые дираковские векторы I v(y)> (у — некоторый непрерывный параметр), которые уже не принадлежат гильбертову пространству. Математически строгое решение этой проблемы выходит далеко за рамки настоящей книги. Поэтому мы воспользуемся не очень строгим, но более простым методом, предложенным Дираком и хорошо себя зарекомендовавшим при решении физических задач [52,53].
