Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
1) Если a, be Г1, то ab-ba? Г®;
2) Если о Є Г1, Ь є Г°, то ab Є Г1;
3) Tn = TOer1.
Можно показать, что любое подпространство Г1, имеющее эти свойства, является пространством нечетных элементов алгеб- 96
Глава 1
ры Г„ относительно некоторой системы канонических порождающих элементов.
Пусть в — автоморфизм алгебры Fn, такой что
а) 02 = 1;
б) Oa = а тогда и только тогда, когда а Є Г®.
Доказывается, что собственное подпространство автоморфизма в, соответствующее собственному значению -1, является подпространством нечетных элементов алгебры Г„ относительно некоторой системы канонических порождающих элементов. Автоморфизмы с такими свойствами называются автоморфизмами четности.
Сформулируем теорему о канонических порождающих элементах алгебры Грассмана. Ее доказательство можно найти в [7].
Теорема 1. Пусть а1,а2,...,ап — система канонических порождающих алгебры Гп. Элементы bl,b2,... , bn из Г^(оі, а2,... , ап) являются каноническими порождающими тогда и только тогда, когда
п
bi = Pjittj + Ci, Ci Є Г„, i=i
причем (let ЦД/ІІІ Ф 0 и dog Ci ^ 3. Произвольный набор Cl1, (І2,... , (In из Tn является системой канонических порождающих элементов тогда и только тогда, когда
di = bi(l+ /л), і = 1,2,... ,п,
где bi,b2,...,bn — канонические порождающие элементы, принадлежащие Г*(аі, а2, ..., ап), и [і Є Г*(аі,а2,.-. ,ап).
Из этой теоремы вытекает, что при фиксированном р є а2, ¦ ¦ ¦ , ап) пространство элементов a(l + р), где а пробегает Гі(аі,а2,... ,an), совпадает с множеством нечетных элементов относительно некоторой системы канонических порождающих элементов и, наоборот, всякое множество нечетных элементов относительно некоторой системы канонических порождающих элементов получается таким образом. § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu
97
6.3. Алгебры Клиффорда. Примерами ассоциативных алгебр, играющих важную роль в спинорном исчислении, являются алгебры Клиффорда. Они сопоставляются с псевдоевклидовыми векторными пространствами.
Пространство En с билинейной симметрической формой
(х,у) = X1 У! + . . . + Хрур - Хр+1ур+1 - ... - Хр+дУр+д,
где р + q = п, называют псевдоевклидовым пространством сигнатуры (р, q) и обозначают через Epq или Mpq. Пространство M1^z называют пространством Минковского. Выберем в Epq единичные орты еі,ег, -.., е„. Для них
(ei,ej) = -l, p+l^j^n.
Каждому орту е^ поставим в соответствие элемент (ц и в соответствии с (6.4) будем требовать выполнения соотношений
Вещественную ассоциативную алгебру с единицей, порожденную элементами O1, а2, ¦ ¦ •, ар+д, удовлетворяющими соотношению (6.5), называют алгеброй Клиффорда пространства Epg, если любое другое соотношение между Ct1, 02, ¦.. , о,р+я является следствием соотношений (6.5). Эта алгебра обозначается через Cliff(IJpg). Базис алгебры Cliff(JB1pg), р + q~ п, имеет 2" элементов. Он совпадает с множеством элементов (6.2).
Как и в случае алгебры Грассмана, алгебра CIiff(JEJpg) является прямой суммой подпространства CIiff1(JEJpg) нечетных элементов и подалгебры Cliff0(Epq) четных элементов.
Алгебра Клиффорда Cliff(jEJi>3) пространства Минковского порождается четырьмя элементами, обозначаемыми через 7о, 7і,72,7з- Для них
(е., ej) =0, ъф у, (е,-,е,-) = 1, 1 ^ і ^p;
(6.4)
{di, aj} = aiaj + Ojai = 0, і ф j,
Oi=I, і = 1,2,... ,р, = j = P + I,р+ 2,... ,p + q. _
(6.5)
Uli + Ijli = 0, іф j; 7o = 1I l\ = 7І = 7І = -1- (6.6) 98 Глава 1
Реализацией этих соотношений могут служить матрицы Дирака
/ 0 <т<Д /О -<т,_Л
70= n , Ti= ' , 3 = 1,2,3, (6.7)
\(т0 О J \(Tj-1 О J
где сто — единичная 2х2-матрица, a (Xj — матрицы Паули
-'=C!)• ¦*=(• o')• —С -З- ,б-8)
Выбираем такой базис подалгебры Cliff0(JEJijS) четных элементов алгебры Клиффорда CIiff(JEJij3):
1, 7іТо, 727о, 7з7о, ~7і72, ~7з7і, 7г7з, 7о7і7г7з- (6.9)
Введем обозначения 7170 = Ei, 7270 = E2, 7370 = E3. Тогда базис (6.9) можно записать в виде
1, Ei, E2, E3, EiE2, E3Ei, E2E3, EiE2E3. (6.10)
Легко посчитать, что
EjEj + EjEt- = 0, і фу, E2=El = E2 = I. (6.11)
Формулы (6.10) и (6.11) задают алгебру Клиффорда CIiff(jej3i0), называемую алгеброй Паули. Следовательно, подалгебра Cliff°(jeji)3) изоморфна алгебре Паули.
Задача 2. Покажите, что матрицы (6.8) удовлетворяют соотношениям (6.11).
Подалгебра Cliff0(jej3,о) четных элементов алгебры Паули натягивается на базисные элементы
1, EiE2, E3Ei, E2E3. (6.12)
Обозначим их соответственно через l,i,j,ij. Если принять ij за к, то легко проверить, что l,i,j,k удовлетворяют соотношениям для кватернионных единиц (см. пример 6). Следовательно, подалгебра Cliff°(jej3>o) изоморфна алгебре Клиффорда Cliff(jEJ2jo), которая в свою очередь изоморфна алгебре кватернионов. Подалгебра Cliff0(I^o) коммутативна и изоморфна полю комплексных чисел. § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu
99
H 6.4. Алгебры Ли. Примерами неассоциативных алгебр являются алгебры Ли. Как правило, алгебры Ли будем обозначать прописными готическими, а их элементы — заглавными латинскими буквами.
