Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, можно утверждать, что формы є'1® ®є*2 ® ... ® є1р являются базисом в пространстве .Sfp(V5IR) р-линейных форм и что это пространство изоморфно тензорному произведению V ® ... ® V = (V')p. Поэтому пространство полилинейных форм является тензорной алгеброй.
Выделим в пространстве полилинейных форм на V подпространство кососимметрических форм. Напомним, что р-линейное отображение и>: VxVx...xV—называют ко-сосимметричным, если для любой перестановки s Є Sp имеем
w(s(a!,a2,... ,ар)) = e(s)w(ai,a2,... ,Ap),
где e(s) = ±1 в зависимости от четности или нечетности перестановки s. Подпространство кососимметрических форм на V степени р будем обозначать через Ap(V), а его элементы будем называть внешними формами на V степени р или внешними р-формами. Нетрудно подсчитать, что dim Ap(V) = = п\/р\(п — р)1, где п = dim V.
OO
В тензорной алгебре Sf(Vr) = ф SEv{V, М) определим ли-
p==o
нейный оператор асимметризации А, действующий в S?V{V, К) согласно формуле
(Ла)(аі,а2,... ,Яр) = ^ ф)а(в(яі,я2,... ,ap)). (6.20) ses„
Легко видеть, что A2 = А и A(S?P(V,R)) = Ap(V). Следовательно, оператор А является проектором на подпространство внешних форм. Кроме того, ядро N(V) отображения А является двусторонним идеалом t?(V'). Фактор-алгеб-ру ^(V')/N(V) называют внешней алгеброй пространства V и обозначают через A(V). Имеем
A(V) = IR © A1(V) © A2(V) © ... © An(V), 106 Глава 1
где п = dim V. Операцией в A(V) есть операция внешнего умножения, которая является «проекцией» на подпространство кососимметрических форм операции тензорного умножения. Если OJi Є Ap(V) и U2 Є Aq(V), то их внешнее произведение обозначают через U1 Au2 и
U1 Л W2 = Afa1 ® Ui2),
PW-
то есть
(CJ1 Л w2)(ai, а2,... , Bp, &Р+1,... , ар+9) = zr^i ?(s)wi(ae(i)'--->as(p))w2(as(p+i),... ,as(p+9)).
(6.20')
В частности, если lj = Ce1 Л а2 Л... Л ар, где а, Є A1(F) = V', то
w(ax, a2,... , ap) = det ((at(a,-))?i=1).
Из формулы (6.20') вытекает антикоммутативность внешнего умножения:
LJ1 Л LJ2 = ( — 1)p9LJ2 Л LJ1,
где LJ1 Є Ap(V) и lj2 Є A9(V). Таким образом, A(V) является алгеброй Грассмана. Иногда ее называют алгеброй Грассмана внешних форм. Если в пространстве V фиксирован базис e1?e2,... , е„, то порождающими элементами алгебры A(V) являются линейные формы є1,є2,... ,є", образующие дуальный базис в V'.
6.7. Универсальные обертывающие алгебры алгебр Ли. Пусть д — алгебра Ли. Образуем тензорную алгеб-РУ 5Чб)- Для любых элементов X и Y из д зададим элементы
X ®Y -Y ® X -[X,Y] (6.21)
алгебры &(д) и породим ими двусторонний идеал J в &(д). Для этого элементы (6.21) умножаем слева и справа на элементы из &(д). Идеал J состоит из всех возможных линейных комбинаций полученных элементов. Универсальной обертывающей алгеброй U(g) алгебры Ли д называют фактор-ал-гебру Sf(Q)IJ. § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu 107
Пусть XitX2,... ,Xn — базис в д. Тогда элементы2
, XilXi3-^Xik, 1 ^ip ^n, к = 0,1,2,...
(мы опустили знак тензорного произведения) образуют базис в S^g). Рассмотрим элементы
XilXi2-^Xik +J (6.22)
универсальной обертывающей алгебры lt(g). Вследствие (6.21) получаем
XiXj + J = (XiXj + J) +J2 аЛХг + J),
г
где аг — числа, значения которых для нас не важны. Поэтому элемент (6.22) можно свести к виду
(XjlXh...Xjk+J) + Y,bs+J), 7* eg8, s<k, (6.23) 8
где с точностью до порядка (ii,i2,... ,ik) = (ji,j2,... ,jk) и ji ^ j2 ^ ... ^ jk- Такую же операцию можно применить к элементам Js Є 0е. Продолжив этот процесс, приходим к такому заключению. Элемент (6.22) представляется в виде суммы элементов
XjlXj2... Xjr +J, л ^ j2 ^ ... ^ jr ^ п, г^-к.
Можно показать (см., например, [18]), что элементы
Xj1Xj2 - ..Xjk + J, ji ^j2 ^ ... ^ jk ^n, к = 0,1,2,...
линейно независимы в U(g) и поэтому образуют базис в этой алгебре. Его называют базисом Пуанкаре -Биркгофа -Bumma.
При рассмотрении представлений алгебр Ли элементам из J соответствуют нулевые операторы, а поэтому часто считают, что универсальная обертывающая алгебра натягивается на элементы
Xj1Xj2... Xjk, ji ^ J2 ^ ... ^ jk < ті, к = 0,1,2,... ,
(6.24)
2При к = 0 этот элемент совпадает с числом 1. 108
Глава 1
как на базис. Умножение этих элементов задается согласно формуле (6.19') и дальнейшим сведением к линейной комбинации элементов (6.24) путем описанной выше операции.
Иной базис алгебры 11(g) состоит из симметрических элементов
e(ib J 2, • • - ,jk) = X] X"Uu-,3k)-> п ^ 32 ^ ¦¦Jk ^ п, <r€Sk
к = 0, 1, 2,... , где Sk — группа перестановок к элементов и
«к = • • • Xtk.
Важное значение для теории представлений имеет центр 3 алгебры U(g). Он состоит из элементов С Є 11(g), перестановочных со всеми элементами из U(g).
6.8. Супералгебры Ли. Поскольку в физике приходится рассматривать операторы, удовлетворяющие соотношениям, которые в одних случаях выражаются через коммутатор, а в других — через антикоммутатор, то вводят алгебры, в которых умножение задается с помощью коммутатора и антикоммутатора.
