Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
-X23 = X2 = 1}:
X -> Jx = . (5.30)
Xz
Очевидно, что J2 является тождественным преобразованием.
Группу, порожденную инверсией J и всеми преобразованиями подобия, называют полной конформной группой пространства Mi;3. Ее обозначают через С(1,3). Среди преобразований, принадлежащих к этой группе, выделим подгруппу преобразований, сопряженных к трансляциям:
_1 _ _ X + х2Ъ
c(b)x = Jt(b)J X =
1 + 2(Ь, х) + Ь2х2
где t(b) Є T(4), f(b)x = x+b, (b,x) = b0x0-hxi-If2X2-L3X3. § 5. Группы пространственных симметрий 87
Поскольку группа С(1,3) порождается инверсией (5.30) и преобразованиями подобия (5.28) и (5.29), а последние очевидно являются конформными, то конформность любых других преобразований этой группы будет доказана, если мы покажем конформность преобразования (5.30).
Напомним, что конформными называются такие преобразования псевдориманового пространства, при которых метрика, преобразуясь, умножается на скалярную функцию, то есть ds2 ds'2 = cr(x)ds2. Поскольку в случае пространст-
з
ва MitS имеем ds2 = dx0 — dx\ — dx2 — dx2 = ^ b^dx^dxv,
/»,«/=0
то конформность преобразований X11 X1fl означает, что
3 Q /
E = 0 = ^ 1,2,з.
/1,«/=0 а р
Проверим это свойство для инверсий. Для этого заметим, что дифференциал отображения (5.30) имеет вид
2 E Ьарх"х\
S_).
ж2 )
3
Отсюда имеем ^ ^ifJ'aJ'? = x~4l>a?- Следовательно, KOH-/1,1/=0
формность доказана.
Известная теорема Лиувилля утверждает, что преобразованиями из группы С(1,3) исчерпываются все конформные преобразования пространства Mi^ (см. [21]).
5.9а. Конформная компактификация пространства Mirз. Группа 0(2,4). Преобразования (5.30) не являются хорошо определенными для всех точек пространства, поскольку не ясно, что будет образом точки х = 0. Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к аналогии с дробно-линейными преобразованиями (5.15), которые являются конформными преобразованиями на плоскости и также порождаются преобразованиями подобия (как и в случае комплексной плоскости они совпадают с аффинными преобразованиями) и инверсией. В случае (5.15) инверсия является хорошо определенным преобразованием, поскольку мы
88
Глава 1
рассматриваем переменную f как локальную координату комплексного пространства P(A"3) ~ S2 ~ CP1, а поэтому отображение Ji $ 1/f, J(O) = оо, связывает диаметрально противоположные точки на S2.
Рассмотрим пространство M2 с соответствующим псевдоевклидовым скалярным произведением и с конусом K5 в нем:
K5 = {у Є м2>4 \у1-у1-у1-у1-у1 + у1=ъ).
Из пространством M2j4 мы ассоциируем проективное пространство EP5. Четырехмерное замкнутое пространство P(Ifs) С EP5, точками которого являются образующие конуса, известно под названием квадрики Клейна. Пусть Уа = У а / 2/61 в = 0,1,2,3,5, — проективные координаты в пространстве EP5, обслуживающие окрестность U[, которому принадлежат прямые, имеющие нулевую проекцию на подпространство Mij4 = {у Є M2i4 I уе = 0}. Обозначим через Ip1 отображение U{ E5, соответствующее этим координатам, то есть ?>І(лу) = {уо/уб, Уі/Уб, У2ІУ6, уз/уе, г/5/г/6 }• Сузив отображение Ip1 на пересечение F(K5) HU1, легко видеть, что
<р'г: F(K5)HU1 Г4 = {у еМ^ІЇ-уІ-уї-уї-у2 = -!}.
Стереографическая проекция Ip1 гиперболоида Г4 из точки у = {0,0,0, 0, —1} на подпространство Mlt3 задается формулой
= "=0'1'2'3}-
Композиция отображений и ipi задает отображение Фі = = Ip1 О Ip11, определенное в открытом множестве Ui = {Ау Є Є P(A"5) I уъ + УЬ Ф 0} и действующее по формуле
Фі(Ау) = fe/Ote + ЇЛ>)} = Ы- (5.31)
Эта формула определяет параметризацию окрестности U1 на квадрике Клейна. Аналогично параметризуются и другие окрестности. Например, для точек, принадлежащих окрестности JT2=IAy Є IP (if5) I ye — уь ф 0}, параметры задаются с помощью отображения Ф2: U2 -> E4:
Фг(Ау) = {Уц/(У6 - 2fe)} S {ж^}. § 5. Группы пространственных симметрий 89
Окрестности U3, U4 и соответствующие отображения Фз, Ф4 имеют вид
U3 = (Ay Є P(JTs) I у0 + у3 ф 0}, Фз(Ау) = {у„/(у0 + у3)}, 1/ = 1,2, 5, 6,
U4 = (Ay Є Р(ЯГ5) I у0 - уз ф 0}, Ф4(Ау) = {у„/(уо - y3)}-
Легко видеть, что объединение окрестностей Ui, г = 1,2, 3,4, накрывает все пространство P(A"5) и каждая из этих окрестностей отображается в пространство Минковского. Компактное пространство P(К5) будем называть конформной компактификацией пространства Mit3 и обозначать через Affj3.
В пространстве P(M2t4) естественно действует группа РО(2,4) ~ 0(2,4)/?, где Z2 = {е,-е}. При этом подпространство P(К5) = Mf 3 остается инвариантным. Группа PO (2,4), действующая в пространстве Mf 3, и будет корректно определенной группой конформных преобразований.
Перечислим подгруппы в 0(2,4), соответствующие преобразованиям (5.28)-(5.30). Преобразованиям Лоренца
Xfl —> X! в/и;?» соответствуют матрицы diag(g-, 1,1), g =
V=O
— (g/w) є 0(1,3), а трансляциям x->x + b — матрицы
где b = (fco5 hi, b2, bz} — вектор-строка, bT — тот же вектор, записанный как столбец, и Ь2 = Ь0 — Ь\ — Ь\- Ь\. Растяжению (дилатации) Xfl —» е~ах)1 соответствует матрица
