booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 34

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvuПредыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 154 >> Следующая

„о „0„1 _ „1 10 „1 „) „і _ „о 08 Cg , 00 eg, 00 eg, 0 0 С 0

и 0° — подалгебра в д. Очевидным образом в 0 задается функция четности а(Х). Вводим в g операцию

[X, Y] = XY- (-l)Q<x)Q<y>YX,112 Глава 1

где X и Y — однородные элементы. Она превращает д в супералгебру Ли. Операция

[X,Y] = (-1 _ YX,

где X и Y — однородные элементы, также превращает g в супералгебру Ли.Глава 2 Группы Ли

Непрерывные группы пространственно-временных симметрий, рассмотренные в гл. 1 (такие как группы SO(3), SO(2,1), группа движений евклидового пространства, группы Лоренца и Пуанкаре), кроме алгебраической групповой операции умножения и структуры топологического пространства имеют еще и другие свойства, благодаря которым их можно исследовать методами дифференциальной геометрии и анализа. Эти дополнительные свойства концентрируются в понятии группы Ли, которое рассматривается в этой главе.

Теория групп Ли существенно опирается на теорию гладких многообразий и тесно переплетается с дифференциальной геометрией. Поэтому в современных монографиях эти три математические дисциплины излагаются параллельно. Последнее время сюда также включают и глобальную теорию га-мильтоновых систем, тесно связанную с анализом на многообразиях, геометрией и теорией групп Ли.

Первый параграф этой главы посвящен изложению основных понятий теории гладких многообразий и дифференциальной геометрии. Изложение сжато и конспективно. Читателям, желающим глубже овладеть современным языком и методами анализа на многообразиях, рекомендуем обратиться к специальным монографиям на эту тему, например, к [50, 55, 63].

§ 1. Элементы анализа на многообразиях

1.1. Гладкие многообразия. Многообразие размерности п представляет собой пространство, которое локально выглядит как пространство Kn. Соответственно локальный анализ на многообразиях совпадает с анализом функ-114

Глава 1

ций многих комплексных переменных в открытых областях пространства К". Точное определение такое: топологическим многообразием или локальным евклидовым пространством называют хаусдорфово топологическое пространство М, каждая точка которого имеет окрестность U, гомеоморфно отображаемую на открытое подмножество пространства Kn. Гомеоморфизм ip: U -» Kn называют координатным отображением. Параметры (f^f2,... , tn} = <р{х), являющиеся образами точки х Є U при отображении ip, называют локальными координатами этой точки. Иногда их называют координатными функциями и указывают соответствующий аргумент: х -» ... ,tn(x)}, или сокращенно X -» {t*(a;)}. Пару (U, ip) называют локальной картой или локальной системой координат.

Рис. 8.

Локальные карты (U,ip) и (U',ip') называют гладко согласованными, если для точек X, принадлежащих пересечению U П U', переход от координат {t*} = tp(x) к координатам {f*} = ip'(x) и обратно осуществляется к раз дифферен-§ 1. Элементы, анализа на многообразиях

115

цируемыми функциями, то есть функции

{t'\ t'2,..., t'n} = <р' О v-\t\ і2,... , і"),

{t1, t2,..., п = v Oip-1Okn, t'2,..., t'n)

являются дифференцируемыми функциями п переменных класса Ck,к = 0,1,2,... ,со. В дальнейшем в большинстве случаев будем иметь дело с дифференцируемостью класса С°° и под термином «дифференцируемость» будем понимать (если не оговорено противное) бесконечную дифференцируемость. Дифференцируемость класса С°° принято называть гладкостью и мы будем употреблять этот термин как синоним. Понятие согласованности карт объяснено на рис. 8.

Если функции {t,x,t'2,... ,t'n}=ip' о ip-1^1,?,... ,tn) и обратные к ним функции являются аналитическими функциями многих вещественных переменных (то есть соответствующие ряды Тейлора имеют ненулевой радиус сходимости), то согласованность локальных карт называют аналитической (класса Cw).

Гладкой (аналитической) структурой на топологическом многообразии M называют такую совокупность локальных карт [(Utl, tpj І^Є WI}, что

а) U Utl = M;

МЄ9Л

б) для любых р. и и отображения

Vm о Vu1 ¦ lPAUfi n Uv) -> Ipli (Utl П Uv)

принадлежат классу С°° (соответственно являются аналитическими отображениями);

в) совокупность [(U^ipfl \fi Є ГО1} = si максимальна, то есть любая карта (U,ip), гладко (аналитически) согласованная с каждой картой множества sa, также принадлежит этому множеству.

Совокупность si = {Uti,iptl)\p. Є 9Ji}, удовлетворяющая условиям (а)-(в), называется максимальным атласом многообразия М.116

Глава 1

Для комплексно-аналитической структуры на топологическом многообразии M размерности 2п требуется, чтобы координатные функции X —» {і*(ж)}, X є М, принимали значения в пространстве С™ и чтобы отображения о ір~г из С™ в С™ были голоморфными (комплексно-аналитическими).

Ориентация на гладком многообразии задается дополнительным условием согласованности карт и фиксацией правосторонней (левосторонней) системы координат в одной из них. Ориентированным многообразием называют связное гладкое многообразие, наделенное атласом карт, согласованным так, что или UnU' = 0, или U HU' ф 0 и

det (^C ) > 0, (0 = ip'ix), (^} = v(x), xeUnU'. \dt3 J
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 154 >> Следующая