Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
( f (H2 + \?? + ItI2 + И2) ReM + jo)
p(g) =
Re (cry H- ?o) Im(a7 + ?o)
R e{ao + py) Im(a5 H- fiy)
1CH2+ H2-ItI2-I*!2) R<<*?-iS)
\ 2
Im(a? + jo)
Im(?j — ao) Re(aS - ?j) lm(a? + 7^)
Тч 1
|(M2 + ItI2- № -1/012)^
Re(o7 - ?o) Im («7 — ?o)
(M2 _ Щ2 _ |7,2 _ Щ2) j
(5.16)
Отображение p является накрытием группы SOo (1,3) группой SL(2,С). Ядром этого гомоморфизма есть центр Zi = = {е, -е} группы SL(2, (С). § 5. Группы пространственных симметрий 79
Утверждение 1. Любой элемент g Є SL(2, С) однозначно представляется в виде произведения g = k-a(r)-n(z), г Є M+, Z еС, где
* = (_» ")?Я/<2,, = »W = 0J).
Следовательно, группа SL(2, С) как топологическое пространство гомеоморфна декартовому произведению SU(2) х К+ х К2.
Доказательство. Приравнивая матрицу g = ( " а ) Є
Є SX(2, С) к произведению k-a(r)-n(z), получим четыре уравнения для вычисления параметров и, v, г, z. Простые вычисления дают однозначные решения:
г = (Ifl2 + H2)-1'2, « = ?r, u = Sr, Z = (a? + 7 S)r2. (5.17)
Утверждение доказано.
Из утверждения 1 и из того, что
TT1(SX^5Q) = Tr1(Ss) X Tr1 (Е+) х Tr1 (I2) = {е},
вытекает, что группа SX(2,<C) односвязна. Следовательно, накрытие р: SL(2,С) SO0(l,3) является универсальным.
Гиперболоид H+ т ниже будем обозначать через H3. На нем реализуется трехмерная гиперболическая геометрия. Если параметризовать его параметрами т, в, ip (т ^ 0, 0 ^ в < тг, О ^ <р < 2тг), положив
S0=Wch г, Xx=m sh г sin в cos ip, X2 = тп sh т sin в sin tp, Жз = тп sh г cos в,
то для римановой метрики на H3 получаем
ds2 = m2(dr2 + sh2 Td62 + sh2 т sin2 Bdip2). (5.18)
Отображение
X'
(х0,X1,X2,X3) (У1,У2,У3), где Уі = —— 80 Глава 1
отображает гиперболоид H3 на внутренность B3 шара радиуса 1. Действительно, если х2 — х2 — х2 — a:2 = f»2, то = + + =
В координатах у,- метрика (5.18) приобретает конформный вид
4m2 {dyl + dy\ + dyl)
(і - ІУІ2)2
ds2 = , » ' (5.19)
Дальнейшее изучение геометрии пространства H3 удобно вести с помощью кватернионной техники. Для этого каждой точке пространства Ж3 ставим в соответствие кватернион у = yi + \у2 + J2/3 • Отображение
y^?=(bU + l)_1(y+j) (5-20)
переводит B3 в верхнее полупространство E+3 = K2 х Е+, точки которого описываем с помощью кватернионов
q = x + iy+jz = ?+jz, (Є С, z> 0.
Чтобы убедиться в этом, достаточно свести кватернион (5.20) к каноническому виду:
2(ї/і + iy2) + j(l — |у|2)
Q =
ІУІ2 + 1-2?
Отсюда видно, что z = (1 — |у|2)/(|у|2 + 1 — 2у3) > 0.
Метрика (5.19) при отображении (5.20) переходит в метрику
^2 = m2{dx2+dy2 + dz2)^
Z2
сохраняя конформный вид.
Утверждение 2. Дробно-линейные преобразования (5.15) продолжаются до конформных преобразований пространства E+3 в виде
Q-*? = (Q? + Sy^qa + j), (5.22) § 5. Группы пространственных симметрий 81
которые действуют транзитивно на К+3, сохраняя метрику (5.21).
Доказательство. При вычислениях поле комплексных чисел будем считать подпространством в алгебре кватернионов, то есть для любого ? Є С будем пользоваться правилом = Приведя кватернион (5.22) к канонической фор-Me qg = Xg + iyg + jzg, получаем
е _ , . _ \q\2a? + ^aS + h? + ^
tg-xg + iyg- + --z - z >0.
s 1?? + *!2 IffW + t?s + t?s + W
Из второй формулы вытекает инвариантность пространства К+ при преобразованиях (5.22). Учитывая соотношение
(57? + ггЧУа + 7) = Ы + т)(57? + «Г1,
вычисляем разницу
Qg-Q1g= № + SV1 (Qa + 7) - (ад1 + 7)(/?? + S)"1 = = (q? + Sr1Iiqa + 7)(/?? + 8)- (?? + 6)Ы + 7)1(/85' + S)'1 =
Для абсолютных значений Iqg-^fJ получаем
--Ч I
1?-?
І9-УІ
" \q? + 8\\?? + 6\'
Пусть q' = q+dq. Тогда \d^g\ = \q?+8\~2\dq\. Отсюда вытекает инвариантность метрики (5.21). Утверждение доказано.
Легко видеть, что стационарной подгруппой точки ®j = j является SU(2) и матрицы вида
(А; Л)'
? Є С, г > 0, (5.23)
действуют просто транзитивно (эффективно) на верхнем полупространстве E+, а именно, матрица (5.23) отображает 82
Глава 1
точку j в точку пространства M+ с координатами x,y,z, где X + \у = ?, Z = г2. Таким образом, пространство К+ вместе с метрикой (5.21) можно отождествить с гиперболическим пространством H3 ~ SL(2,<C)/SU(2) или с подгруппой матриц
b(z,0 = ( ^21 \
\Z 2? Z 2,
(ее называют борелееской подгруппой), на которой задано транзитивное (правое) действие группы SX(2, С), определяемое формулой
b(z, Og = kb(zg, fc), g Є SL(2, С), к Є SU(2),
где Zg и вычисляют согласно формуле (5.17). Это транзитивное действие совпадает с дробно-линейным преобразованием (5.22).
5.8. Группа SL(2, К) и ее универсальное накрытие. Рассмотрим в SL(2, С) подгруппу вещественных матриц
SL( 2, К) = jgR = ^ ^ , где a,b,c,deM и ad-be= 1 j.
При отображении р образом матрицы gR является элемент подгруппы S()'0(\,2) С SOo(l,3) псевдоортогональных преобразований подпространства М[ 2 С Mi,з, точки которого имеют координаты х = (жо,Жі,0,а;з). Очевидно, что это подпространство изоморфно подпространству Mii2 = = {х є Мі,з I х3 = 0}, рассмотренному в п. 5.6. Изоморфизм соответствующих псевдоортогональных групп ,9(? (1,2) и SOo(l, 2) очевиден, и он индуцирует изоморфизм накрывающих групп SL(2,Е) и St7(l,l), являющихся подгруппами в SL(2, С). Этот изоморфизм задается с помощью матри-
