Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Удвоением поля вещественных чисел является алгебра (поле) комплексных чисел С, а удвоением алгебры С — алгебра кватернионов IHL Первое утверждение очевидно, а для доказательства второго достаточно в каждом элементе а + еЪ удвоенной алгебры записать комплексные числа через мнимую единицу, то есть положить O = Oj+ >02, Ъ = оз + І04 и обозначить є через j, а іе через к. Тогда элемент q = a + eb принимает канонический кватернионный вид q = oi + i«2 + jo3 + ko4.
В удвоенной алгебре сопряжение определено по формуле о + eb = a—be. В случае кватернионов q = oi — І02—J03—ko4. Легко видеть, что qq — qq = о? +0І+03+0І — вещественное положительное число. А поэтому определена норма кватерниона |g| = (qq)1'2. Согласно определения |g| = О тогда и только тогда, когда q = 0. Каждый ненулевой кватернион q имеет обратный g_1 = <?/|д|2, то есть алгебра H является алгеброй с делением. § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu
93
Алгебра кватернионов H допускает матричную реализацию (изоморфизм в алгебру матриц)
Если q = a + jb, a = oi + івг, b = 03 + І04, то q отображается
Пусть А — конечномерная алгебра с базисом ei, е2,... , еп. Каждый элемент алгебры А является линейной комбинацией элементов Єі,Є2,... , еп. Умножение для базисных элементов задается формулой
где C^j — числа. Эти числа называют структурными константами алгебры А. Базис и структурные константы полностью определяют алгебру.
Пусть Oijd2,... , а„ — элементы алгебры A, a В — множество линейных комбинаций всех возможных произведений элементов Oi, а2,... , ап, взятых произвольное количество раз. Очевидно, что В — подалгебра в А. Если В совпадает с А, то oi, о2,... ,ап называют порождающими элементами алгебры А. Как и в случае конечных групп, для порождающих элементов задают определяющие соотношения, которые вместе с порождающими элементами определяют алгебру.
6.2. Алгебры Грассмана. Важным примером ассоциативных алгебр являются алгебры Грассмана. Ассоциативную алгебру с единицей называют алгеброй Грассмана, если в ней существует система порождающих элементов oi,... , ап, удовлетворяющих соотношениям
{oj,о,-} = OjOj + OjOj = 0, i,j = 1>2,... ,п, (6.1)
и если любое другое соотношение для этих элементов является их следствием. Эту алгебру обозначают через Г„ или
в матрицу
71 94
Глава 1
через Г„(аі, 0,2у..., On). Порождающие элементы алгебры Г„, удовлетворяющие соотношениям (6.1), называют каноническими. Можно показать, что всякая система канонических порождающих элементов алгебры Tn содержит п элементов. Если же порождающие элементы алгебры Tn не обязательно каноничны, то их количество не меньше п.
Соотношения (6.1) называют антикоммутаторами элементов Oi и Oj. Из них вытекает, что а? = аіщ = 0 для г = 1, 2,... ,п.
Из определения алгебры Грассмана следует, что Tn имеет базис, состоящий из единицы и элементов
а», г = 1,2,...,тг,
i,j = 1,2,... , п, і < j, uiujuk, i,j,k = 1,2,... ,n, і < j <k, (6.2)
аі аг... an.
Таким образом, любой элемент а Є Гп можно представить в виде
а»1«2...йаг1а«-2 • • • aik, (6-3)
О и,і2.....ifc
где Olll2^ifc — числа. Поскольку = —то числа CXil ,»2,..- ,tfc должны быть кососимметричными по индексам »1, «2,. -. , І к или же суммирование должно вестись по тем значениям индексов, для которых г'і < «2 < ... < г*.
Если в (6.3) аігі2...ік = 0 при к < р и при к = р существует ненулевой коэффициент, то говорят, что элемент а имеет степень р и пишут dega = р. Можно показать, что степень элемента не зависит от выбора канонических порождающих элементов.
Пусть ГІР) — подпространство в Гп, состоящее из всех элементов а, для которых deg a ^ р. Ясно, что
Tn=TfDrW D Г«Э... ЭГМ
причем подпространство Г^"' одномерно. Поскольку
ab Є T(f+9>, если аєГ^, be § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu
95
то все ГIf' являются идеалами в Гп. Алгебра Гп не имеет односторонних идеалов.
Идеал Г™ состоит из всех нилъпотентных элементов алгебры Г„, то есть из элементов а Є Гп, для которых ак = 0 при некотором целом положительном к. Фактор-алгебра Гп/Г^ изоморфна полю комплексных чисел, если алгебра Г„ комплексная, и полю вещественных чисел, если алгебра Г„ вещественна. Для определенности будем считать, что алгебра Гп вещественна. Изоморфизм Г„/Г^ ~ M определяет гомоморфизм (р: Гп К. Если элементы а Є Г„ представлены в виде (6.3), то (р(а) = а0. Это единственный ненулевой гомоморфизм алгебры Гп в К.
Пусть теперь ф — гомоморфизм алгебры Грассмана Г„ на алгебру Грассмана Г8, s ^ n, a N — ядро этого гомоморфизма. Можно показать (см., например, [7]), что в Г„ можно выбрать такую систему канонических порождающих элементов oi, u2, ¦ ¦ ¦ , а„, что N как идеал в Г„ порождается элементами Og+i, Og+2, -. - , оп, а элементы ф(аі), ф{а2), - - -, Ф(о.8) являются каноническими порождающими элементами в Гя.
Элемент (6.3) алгебры Г„, для которого отличными от нуля являются коэффициенты C^i2...ifc с четными (нечетными) к, называются четным (соответственно нечетным). Множество четных и нечетных элементов из Гп будем обозначать соответственно через Г® и Г1. Множество Г1 является линейным подпространством, а множество Г® — подалгебра в Г„. Подалгебра Г® не зависит от выбора канонических порождающих элементов. Множество Г1 этого свойства не имеет. Поэтому его также обозначают через rj,(ai,O2,... ,оп), указывая, относительно каких канонических порождающих элементов оно взято. При любом выборе канонических порождающих элементов справедливы следующие свойства:
