Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть g — вещественное или комплексное линейное пространство. Выберем в g базис и разделим его на две части
Xi, X2,.. ¦ ,Xm; Yi, Y2,— ,Yn. Введем для базисных элементов операции
т
[Xi, Xj] = X 4jXp,
P=I
п
[XijYjl = Yt^jYr,
Г-1
Tll
[Yi, Yj} = Y,bbX*
S= 1
(6.25)
(6.26) (6.27)
и распространим их по линейности на все пространство д. § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu 109
Мы хотим, чтобы пространство д было алгеброй относительно этих операций. Для этого, как и в случае алгебр Ли, они должны удовлетворять дополнительным условиям. Если под [•,•] понимать обычный коммутатор [X, У] = XY — YX, а под {-,-} — обычный антикоммутатор {X, У} = XY + УХ, то легко проверить, что для Xl5X2,... ,Xm выполняется тождество Якоби (6.13), а для Xi и Yj — тождества
[Xi5 [Xi5 yfc]] + [lfc, [Xi5 Xi]] + [Xi5 [Yfc, Xi]] = 0, (6.28) [Xi, {УІ;У*}] + { К", Xi], У* } + ([Yfc5XiJ5YiI = O5 (6.29) [:Yi, {Yj, Yfc}] + [Yfc, (Yi5Yi)] + [Yjt (Yfc5Yi)] = 0. (6.30)
Линейное пространство д, в котором согласно формулам (6.25)-(6.27) введена операция, удовлетворяющая тождеству Якобн (для X1, X2, ..., Xm), тождествам (6.28)-(6.30) и равенствам
[Xi, Xi] = -[Xi, Xi], [Xi, Yi] = -[FjlXi], (6.31) {Yi,Yj} = (Ij5Yi), (6.32)
называют супералгеброй Ли. Числа C^j5 d\j и b\j из формул (6.25)-(6.27) называют структурными константами этой алгебры.
Пусть 0° — подпространство в д, натянутое на X1, X2,... ,Xm, ад1 — подпространство, натянутое на Y1, Y2,... ,Yn. Тогда
д = S0 ©01.
Из формул (6.25)-(6.27) вытекает, что это разложение является градуированием алгебры д. Элементы из g0 называют четными, а из д1 — нечетными. Как четные, так и нечетные элементы называют однородными. Из (6.25) и (6.31) вытекает, что 0° является алгеброй Ли.
Пример 16. Пусть g — пятимерное линейное пространство с базисными элементами Xq,X+,X-,Y+,Y~. Соотношения
[X0, Х±] = ±Х±, [X+, X-] = 2Х0, [Х0,У±] = ±|У±, [Х±,УТ] = У±, [Х±,У±] = 0, (У±,У±} = ± |х±, {Y+,Y-} = - |Хо 110
Глава 1
(берутся только верхние или только нижние знаки) превращают его в супералгебру Ли, обозначаемую через osp(l 12).
Поскольку супералгебра Ли является (неассоциативной) алгеброй, то для нее справедливы определения п. 6.1. Следовательно, для супералгебр Ли существуют понятия изоморфизма, гомоморфизма, подалгебры (суперподалгебры Ли), идеала, прямых и полупрямых сумм. Рекомендуем читателю сформулировать соответствующие определения.
Пусть a(Z) — функция четности на однородных элементах из д, то есть a(Z) = 0 при Z є д° и a(Z) = 1 при Z є д1. Она определяет на д линейный оператор Р, действующий на однородные элементы согласно формуле PZ = (—l)a^Z. Легко проверить, что P — автоморфизм супералгебры Ли д.
Далее в этом пункте операции [•, •] и {•, •} из (6.25)-(6.27) будем записывать одним символом [•, •]. При этом для однородных элементов соотношения (6.31) и (6.32) принимают вид
[X, Y] = (-і)">(-*)°(П+і[у; X], (6.33)
а тождество Якоби и тождества (6.28)-(6.30) — вид
[X,[Y,Z]](-l)o™r> + [Z,[X,Y}](- +
+ [У, [Z, X]] = 0) (6.34)
где а(-) — функция четности. Для однородных элементов справедливо тождество
а([Х, F]) = а(Х) + а(У). (6.35)
Так же как и в случае алгебр Ли, тождество Якоби, тождества (6.28)-(6.30), а также соотношения (6.31) и (6.32) можно записать в терминах структурных констант. Чтобы сделать это, обозначим вторую часть Y1, Y2,... ,Yn базисных элементов соответственно через Xm+1, Xm+2,.. -, Xm+n, а соотношения (6.25)-(6.27) (используя только символ [•, •]) запишем в виде [Х,-,Х^] = cijXk- Ясно, что константы d^ и Ь^ из (6.26) к
и (6.27) равны введенным константам с^- при определенных значениях индексов. Обозначая а(Ха) через a(s), соотношения (6.28)-(6.32) для базисных элементов XljX2,... ,Xm+n § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu 111
в терминах констант Cij- можно записать в виде Cij = (-l)a(i)a(i)+1c*,-,
Ec&eU-l)««"® + ?с^(-1Г«>«<*> + t t
+ Ec" 4(-i)o(,)a(fc) = 0. t
В зависимости от того, каким является линейное пространство д, супералгебры Ли бывают комплексными и вещественными. Как и в случае алгебр Ли, вещественную супералгебру Ли g можно комплексифицировать. Комплексные супералгебры Ли имеют вещественные формы, которые могут быть неизоморфными.
Пример 17. Пусть 0 = 0° + 01 — вещественная супералгебра Ли. Обозначим через 0i = Q0+ig1 множество линейных комбинаций
X + ІУ, Xe00, Y Є 0і, і = V^l.
Ясно, что 01 — вещественное линейное пространство. Исходя из операции коммутирования и антикоммутирования [•, •] в 0, вводим эти операции в Qi согласно формуле
[X1 + IYuX2 + іY2J = [X1, X2] - [YuY2] + і([X1, Y2] + [Y1, X2]).
Непосредственно проверяется, что условия (6.33)-(6.35) выполняются и gl превращается в вещественную супералгебру Ли. Супералгебры Ли 0 и 01 являются, вообще говоря, неизоморфными вещественными формами одной и той же комплексной супералгебры Ли.
В п. 6.4 мы видели, что в каждую ассоциативную алгебру можно ввести структуру алгебры Ли. Подобное утверждение имеет место и для супералгебр Ли. Пусть д = д°+д1 — Z2-rpa-дуированная ассоциативная алгебра. Тогда
