Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Каждую комплексную алгебру Ли g с базисом Xi, X2,... ,Xn, можно рассматривать как вещественную алгебру Ли 0я удвоенной размерности с базисом X1, X2, ... , X71, iXi,iX2, ... , iXn, где і — мнимая единица. Если в g коммутационные соотношения задаются формулой (6.14), то в дд имеем
п п
[IXi5IXj] = -[XijXi] = ^(Imefj)IXfc - ?(Recfj)Xb
fc=i fc=i n n
[IXijXj] = -[Xi5IXj] = ^(Recfj)IXfc - ^(Imcfj)Xfc.
fc=i fc=i
Пусть gc — комплексная алгебра Ли, a Xi, X2,... , Xn — такой ее базис, для которого структурные константы Cij вещественны. Обозначим через g вещественное линейное пространство с базисом Xi, X2, ..., Xn. Поскольку Cfj Є Е, то [XijXj] є g для всех і и j. Поэтому g — вещественная алгебра Ли. Ее называют вещественной формой комплексной алгебры JIu дс. Ясно, что дс является комплексификацией алгебры Ли д.
Неизоморфные алгебры Ли могут иметь одну и ту же комплексификацию. Другими словами, комплексная алгебра Ли может иметь разные (неизоморфные) вещественные формы. Они получаются путем выбора разных базисов, для которых структурные константы вещественны.
6.5. Градуированные и тензорные алгебры. Пусть I — множество индексов, в котором определена операция сложения. Примером такого множества может служить множество целых неотрицательных чисел 0, 1, 2,... с обычной операцией сложения или множество, состоящее из двух чисел О и 1 с операцией сложения
0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0+1 = 1 + 0 = 1.
Алгебру (ассоциативную или неассоциативную) А называют градуированной, если ее можно представить в виде прямой § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu 103
суммы подпространств Аі, і & I:
А = ® At, (6.18)
і€/
так что при cii Є Ai и aj Є Aj имеем OiOj- Є Ai+j. Такое представление алгебры А в виде суммы (6.18) называют градуированием. Элементы подпространств Ai называют однородными степени і. Каждый элемент а Є Л однозначным образом представляется в виде a = ^2 a,-, Oi Є Ai, причем только конечное і
число слагаемых отлично от нуля.
Пример 14. Алгебра Грассмана Г„ градуирована. Ее градуировка задается формулой Г„ = +Tj,. Градуирование такого типа называют ^-градуированием.
Пример 15. Алгебра Клиффорда Cliff(JSp4) градуирована. Ее градуировка задается разложением Cliff(JSp4) = ClifF0(JSp4) + + Cliff1(JSp4).
Важными примерами градуированных алгебр являются тензорные алгебры. Они строятся таким образом. Пусть А — линейное пространство (для определенности считаем, что оно вещественно). Можно рассмотреть тензорные произведения A(S>A = A2, A<S) A(S) А = А3, ..., которые также являются линейными пространствами. Элементами этих пространств являются соответственно произведения а ® Ь, а ® Ь ® с, ... и их линейные комбинации. Поле вещественных чисел IR обозначаем через A0 и образуем прямую сумму линейных пространств A0, А = А1, А2, ... Получим бесконечномерное линейное пространство
ST(A) = Л° © A1 © A2 © ... . (6.19)
Элементы подпространств An, п = 0,1,2,..., называют однородными. Согласно формуле
(oi ® o2 ® ... ® Оі)(Ьі ® b2 ® ... ® bj) =
= Oi ® O2 ® ... ® Oi ® bi ® Ь2 ® • • • ® bj, (6.19')
где Ofc Є А и br Є А, вводим умножение для однородных элементов и по линейности распространяем эту операцию на все 104
Глава 1
элементы из &(А). В результате превращается в некоммутативную ассоциативную алгебру, называемую тензорной. Поскольку при 7 Є A1 и 6 Є А* имеем jS Є , то формула (6.19) задает градуирование в О?(А).
Пусть Єі,Єг,... ,еп — базис пространства А. Тогда одночлены
Єі! <8> еІ2 ® ... ® eifc, I^ ip ^ п,
образуют базис пространства Ak. Единица и объединение этих базисов для алгебр А1, А2, ... образуют базис тензорной алгебры &(А). Ее элементами являются конечные линейные комбинации базисных элементов.
6.6. Алгебра внешних форм. С тензорными алгебрами связан ряд других ассоциативных алгебр. Важной является алгебра внешних форм. Пусть V — линейное пространство (для определенности считаем его вещественным) и V' — пространство линейных однородных функций (форм) на V. Пусть а и ? — элементы из V'. Тензорным произведением этих форм является билинейная форма a®?, действующая на паре векторов a, b Є V согласно правилу
{a®?)(a,b) = a(a)?(b).
Подобным образом определяются полилинейные формы на V. Если W1 Hlj2 — полилинейные формы степеней соответственно P И q, ТО ИХ тензорное произведение LJ1 ® LJ2 является полилинейной формой степени p+q, осуществляющей отображение пространства V х V х ... х V (декартово произведение p + q экземпляров пространства У) в IR по формуле
(ші (S)W2Ha1,... ,ар; bb... ,bg) =
= Lj1 (ах,... ,ap)w2(bi,... ,bg).
Пусть еі,е2,...,е„ — базис пространства V, а є1, є2,... ,єп — дуальный базис в V', то есть такой, что el(ej) = = Sj = Sij. Тогда любая полилинейная форма а степени р (р-линейная форма) задается набором чисел § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu 105
1 ^ ik ^ П"> являющихся значениями этих форм на последовательностях Єі,,Єі2,... ,Єір базисных векторов. Действительно, так как ai = то к
а(аьа2,... ,ар) = ^ «^...^а^а^ ...<4'р).
