Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Произведение элементов X и У алгебры Ли обозначают через [X, У] и называют коммутатором этих элементов. Требуют, чтобы коммутатор был антисимметричным (то есть, чтобы [X, У] = —[У, X]) и удовлетворял тождеству Якоби
[.X, [Y, Z]] + [Z, [X, У]] + [У, [Z, X]] = 0. (6.13)
Таким образом, алгебра Ли — это линейное пространство, в котором каждая пара элементов X и У сопоставляется с элементом [Х,У], называемым коммутатором X и У, причем коммутатор удовлетворяет условию антисимметричности, тождеству Якоби, а также линейности
где а и ? — числа. Линейность — это записанная для алгебр Ли дистрибутивность.
На алгебры Ли распространяются определения п. 6.1. Алгебры Ли бывают вещественными и комплексными. Алгебра Ли коммутативна, если [X, У] = 0 для всех элементов X и У. Для алгебр Ли имеет смысл понятие только двустороннего идеала. Подалгебра Ли Ij алгебры Ли g является идеалом, если [X, У] Є t) для всех X є і) и У є 0. Очевидным образом для алгебр Ли определяют гомоморфизм, изоморфизм и автоморфизм. Фактор-пространство алгебры Ли по идеалу является алгеброй Ли, называемой фактор-алгеброй Ли.
Если Xi, Xi, ••• , Xn — базис алгебры Ли, то соотношения
определяют структурные константы C^ этой алгебры. Структурные константы вещественных алгебр вещественны.
Условие антисимметричности [Х,У] = —[У,Х] коммутатора означает, что структурные константы алгебры Ли удовлетворяют условию
[аХ + ?Y, Z] = а[Х, Z] + ?[Y, Z],
п
(6.14)
fc=i
(6.15) 100
Глава 1
При і = j имеем сї-j = 0. Тождество Якоби эквивалентно соотношению
Любой набор чисел с^-, г,j,к = 1,2,... ,п, удовлетворяющий соотношениям (6.15) и (6.16), определяет алгебру Ли, для которой эти числа являются структурными константами. Комплексные (или вещественные) алгебры Ли с одинаковыми структурными константами изоморфны. Перевыбор базиса в алгебре Ли изменяет ее структурные константы.
Пример 7. Если в ассоциативную алгебру ввести коммутатор [о, Ь] = ab — ba, то она превращается в алгебру Ли. Покажите, что так определенный коммутатор удовлетворяет тождеству Якоби (6.13).
Пример 8. Множество Mat(n,C) из примера 2 превращается в алгебру Ли, если коммутатор задать формулой [X, У] = XY — — YX. Эту алгебру обозначают через g[(n, С), п = 1,2,... Алгебры Ли g[(n, С), п = 1,2,..., и их подалгебры называют линейными алгебрами JIu.
Пример 9. Множество кососимметрических вещественных матриц из ?t(n,C) — подалгебра Ли в ?[(n, С). Множество всех косоэрмитовых матриц из ?l(n, С) — подалгебра Ли в ?l(n, С).
Пример 10. Матрицы Паули (6.8) удовлетворяют соотношениям
ГДЄ Єікі - ПОЛНОСТЬЮ аНТИСИММеТрИЧНЫЙ ТеНЗОр, Причем Є123 = 1.
Поэтому на них натягивается трехмерная алгебра Ли А = {а<ті + + ?<?2 + 7<тз I а, ?, 7 Є С}. Это алгебра Ли всех косоэрмитовых бесследовых матриц размерности 2.
Пример 11. Рассмотрим в алгебре Ли gl(n, С) подмножество р„ _ і всех матриц вида
(6.16)
S
[ст,-, <тit] = (Тіак — (тк(Ті = 2і єца<ті,
(6.17)
где Xn-I Є fll(n-l,C), О — строка длины n—1 с нулевыми элементами, ах —. столбик с п — 1 комплексным числом. Легко проверить, § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu
101
ЧТО рп-1 — подалгебра Ли в gl(n,<C). Матрицы (6.17) обозначаем через (X„-i,x). Ясно, что
[(^„-i,x),(XLi,x')] = ([Х„_і,Х'п_г], X„_ix'-Х'п_!х).
Отсюда видно, что подмножество ?l(n — 1,С) матриц (Х„_і,0) — подалгебра Ли в p„-i, а подмножество t матриц (0,х) — идеал
В рп-1-
Говорят, что алгебра Ли g является прямой суммой своих подалгебр д' и д", если д' и д" — идеалы в g и линейное пространство алгебры g является прямой суммой линейных подпространств д' и д" (то есть д = д' + д" и д' U д" = {0}). Ясно, что тогда dimg = dim g' +dim g". Из того, что д' и д" — идеалы в д, вытекает, что для всех X Є д' и Y є д" имеем [Х,Г] = 0.
Пусть д' и д"—две алгебры Ли. Совокупность g пар (X, Y), X Є g' и Y Є g", является прямой суммой пространств д' и д". Для таких пар задаем коммутатор формулой
[(X,Y),(X',Y')] = ([Х,Х'],[Г,Г']),
где справа стоят коммутаторы алгебр Ли д' и д". Этот коммутатор превращает д в алгебру Ли, называемую прямой суммой алгебр Ли д' и д". Ясно, что д' и д" — идеалы в д. Аналогичным образом определяется прямая сумма большего числа алгебр Ли.
Пример 12. Пусть g — алгебра Ли матриц ^ * ® ), X Є дГ(р,С), Y Є ?[(q, С). Тогда g является прямой суммой идеалов gl(p, С)
и ?l(q,C).
Говорят, что алгебра Ли g является полупрямой суммой своих подалгебр Ли д' и д", если линейное пространство алгебры д является прямой суммой подпространств д' и д" и одна из этих подалгебр является идеалом в д.
Пример 13. Алгебра Ли pn-i примера 11 является полупрямой суммой своих подалгебр Ли ?t(n — 1, С) и t.
Пусть g — вещественная алгебра Ли с базисом X1, X2,... , Xn, а дс — комплексное n-мерное линейное пространство с этим базисом. Поскольку задана операция коммутирования для базисных элементов, то по линейности она 102
Глава 1
продолжается на все элементы из дс. Таким образом, дс превращается в комплексную алгебру Ли. Ее называют комп-лексификацией алгебры Ли д.
