Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
з
Преобразование инверсии представляется матрицей
J = diag(l, 1,1,1,1,-1). 90
Глава 1
§ 6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли
Наряду с группами важную роль в теории симметрий играют такие алгебраические объекты, как ассоциативные алгебры и алгебры Ли.
6.1. Алгебры. В линейных (векторных) пространствах заданы две алгебраические операции — сложение и умножение на числа. Алгеброй называют линейное пространство, в котором кроме сложения и умножения на числа определена операция умножения элементов пространства, причем умножение и сложение удовлетворяют законам дистрибутивности
a(ab + ?c) = aab + ?ac, (ab + ?c)a = aba + ?ca,
где a,? — числа, a a,b,c — элементы алгебры.
Если линейное пространство алгебры рассматривается над полем вещественных (комплексных) чисел, то алгебру называют вещественной (комплексной). Алгебры бывают конечномерными и бесконечномерными. Если умножение в алгебре коммутативно, то есть ab = ba для любых элементов а и b алгебры, то алгебру называют коммутативной. Если в алгебре А существует элемент е, такой что ае = еа — а для любых элементов а Є А, то е называют единицей алгебры А, а алгебру А — алгеброй с единицей. Если для любых трех элементов а, Ь, с алгебры А выполняется условие ассоциативности (ab)c = а(Ьс), то А называют ассоциативной алгеброй.
Пример 1. Множество всех комплексных чисел — вещественная ассоциативная алгебра с единицей.
Пример 2. Множество Mat(n,C) всех комплексных квадратных матриц размерности п — ассоциативная алгебра относительно обычных сложения и умножения матриц. Эта алгебра некоммутативна.
Пример 3. Множество C00(Rrt) всех комплексных бесконечно дифференцируемых функций иа R™ образует комплексную коммутативную ассоциативную алгебру относительно обычных сложения и умножения функций.
Линейное подпространство В алгебры А называют подалгеброй в А, если В является алгеброй относительно заданного § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры JIu
91
в А умножения, то есть произведение элементов из В принадлежит В.
Пример 4. Множество всех многочленов от хі,хг,... ,хп — подалгебра в Croo(Rn).
Если В — подалгебра алгебры А и для всех а Є А, Ь Є В элемент ab (элемент ba) лежит в В, то В называют левым (правым) идеалом. Если же для всех а Є A, b Є В как ab, так и Ьа принадлежит В, то В — двусторонний идеал (или просто идеал) алгебры А. Алгебру, не имеющую нетривиальных идеалов, называют простой.
Пример 5. Алгебра Mat(n, С) простая.
Пусть A1 и A2 — алгебры. Отображение ip из A1 в A2 называют гомоморфизмом, если tp сохраняет линейные операции и умножение, то есть если для всех a, b Є A1 и для всех чисел a,? имеем
ip{aa + ?b) = atp(a) + ?ip(b), <p(ab) = <p(a)ip(b).
Если гомоморфизм ip алгебры A1 на алгебру A2 взаимно однозначен, то он называется изоморфизмом. Изоморфизм алгебры А на себя называют автоморфизмом А. Множество всех автоморфизмов алгебры А образует группу, обозначаемую через Aut А. Взаимно однозначное отображение ip алгебры в себя называют антиавтоморфизмом, если
tp(aa + ?b) = atp(a) + ?tp{b), <p(ab) = <p(b)<p(a).
Задача 1. Покажите, что при гомоморфизме единица переходит в единицу, подалгебра — в подалгебру, левый (правый, двусторонний) идеал — в левый (правый, двусторонний) идеал.
Пусть <р — гомоморфизм алгебры A1 на алгебру A2. Тогда ядро К = keryj (то есть множество элементов а из A1, таких что ip(a) = 0) — двусторонний идеал в A1. Естественным образом в фактор-пространстве A1JK вводится умножение смежных классов, превращающее A1IK в алгебру. Алгебры A1IK и A2 изоморфны.
Если В — левый идеал в алгебре А, то фактор-пространство А/В также является алгеброй. Ее называют фактор-алгеброй. Для правых идеалов В рассматривают фактор-алгебру В\А, состоящую из правых смежных классов. 92
Глава 1
Пример 6. Важной ассоциативной (но не коммутативной) алгеброй является алгебра- кватернионов, которую обозначают через EL Элементами этой алгебры являются объекты д, имеющие вид q = Oi +I02 +joe +ka4, где oi, о2, оз, 04 — вещественные числа, a i,j,k — так называемые мнимые или кватерниопные единицы, умножение которых задается соотношениями
ij = -ji = k, jk = -kj = і, ki = —ik = j, і2 = j2 = k2 = -1.
Кватернионы l,i,j,k образуют базис алгебры Н, а приведенные формулы умножения задают ее структурные константы.
Кватернионную алгебру можно строить по принципу удвоения алгебр с инволюцией (сопряжением). Если А — алгебра с инволюцией, то в линейном пространстве, являющемся прямой суммой двух экземпляров пространства А, то есть состоящем из пар (а, Ъ), о, Ъ Є А, определяем операцию
(о, b)(c, d) = (ее — db, be + do),
где черта над элементом обозначает сопряжение в алгебре А. Относительно этой операции пространство пар (в, b) является алгеброй, называемой удвоением алгебры А. Очевидно, что алгебра А является подалгеброй в удвоенной алгебре, а элемент (1,0) — единицей в ней. Пусть е = (0,1). Тогда произвольный элемент (о, Ь) можно записать в виде суммы о + еЬ. Причем согласно введенной операции е2 = (О, I)2 = (-1,0) = -(1,0).
