Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
к решению этой системы. В связи с этим Раусом был предложен метод,
состоящий в такой модификации лагранжиана, при которой исчезают функции
циклических скоростей q$, а вместо них появляются соответствующие
импульсы pj. Преимущество такого приёма состоит в том, что он позволяет
рассматривать эти импульсы pj как постоянные интегрирования, и тогда
последующее интегрирование будет относиться только к нециклическим
координатам. Подробное рассмотрение метода Рауса мы отложим до тех пор,
пока не познакомимся с так называемым гамильтонианом, с которым этот
метод тесно связан.
Заметим, что условия, при которых справедлива теорема о сохранении
обобщённого импульса, являются более общими, чем те, при которых верны
теоремы о сохранении количества движения и кинетического момента,
полученные ранее. Так, например, полученная сейчас теорема о сохранении
справедлива и тогда, когда нарушается закон равенства действия и
противодействия, что имеет место при наличии электромагнитных сил. Пусть,
например, мы имеем свободную частицу, находящуюся в электромагнитном
поле, причём функции (r) и Л не зависят от х. Тогда х не войдёт и в L и,
следовательно, эта координата будет циклической. Поэтому соответствующий
обобщённый импульс рх должен оставаться постоянным. Согласно (1.61) этот
импульс равен
рх = тх -j- =* const (2.44)
и, как показывает эта формула, он не является обычным механическим
количеством движения тх, а отличается от него на величину *).
Покажем теперь, что теоремы о сохранении, доказанные нами в главе 1, § 2,
могут быть получены из равенства (2.43) для циклических координат.
Выберем для этого обобщённую координату q$ таким образом, чтобы
дифференциал её dqj был равен перемещению
*) Основываясь на классической электродинамике, можно показать, что
qAt- _
если Л и if не зависят от х, то величина --* будет равна х-компоненте
электромагнитного импульса поля, связанного с зарядом q.
64
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 11 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[ГЛ. 2
рассматриваемой системы как одного целого в заданном направлении.
Примером такой координаты может служить одна из декартовых координат
центра масс системы. Тогда ясно, что qj не будет входить в выражение для
Т, так как смещение системы в целом не
дТ
влияет на скорости её точек. Поэтому -з- будет равно нулю. Кроме
OQj ,
того, потенциал системы V мы будем считать не зависящим от скоростей
(чтобы исключить такие аномальные силы, как электромагнитные). Тогда
уравнение Лагранжа для рассматриваемой координаты будет иметь вид
d дТ
dt dqj
iPj
дУ
dq/
: Qj- (2.45)
Рис. 16. Изменение радиуса-вектора точки при поступательном перемещении
системы.
Покажем теперь, что это уравнение выражает теорему о количестве движения,
т. е. что Qj представляет сумму составляющих всех сил в направлении a pj-
составляющую количества движения системы в этом же направлении. Мы знаем,
что обобщённая сила Qj определяется равенством
dtj dqj'
Но так как в данном случае dq} есть перемещение системы вдоль некоторой
оси, то векторы ri{qj) и ^(qj-j-dqj) будут выглядеть так, как это
показано на рис. 16. Поэтому, дифференцируя гг по qj, получаем
dTi
Щ'
¦¦ lim
dq_, -" о 1
r.t (qj + dqj) - (qj)
dqj
dqjti
dqj
n,
(2.46)
где n - единичный вектор в направлении перемещения dqj. Следовательно,
Qj^^Fi-n^n-F.
Таким образом, Qj, как это утверждалось выше, есть составляющая полной
силы F в направлении я. Чтобы доказать вторую половину нашего
утверждения, заметим, что если кинетическая энергия 7 имеет вид
§ 2.6]
ТЕОРЕМЫ о сохранении; свойства симметрии
65
то обобщённый импульс, соответствующий координате qj, можно на основании
(1.48) записать в виде
дТ \л ' дг $ vr дг,-
Pi = -~ = / j щг~ • -Д- = >, яг,-(r),- •
dqj ^ dqj А г 1 dqj
Тогда из (2.46) получим:
Pj = п ¦ 2 Щ1>1-
i
Таким образом, мы доказали вторую часть сделанного утвер* ждения, что р,
есть составляющая полного количества движения системы в направлении га.
Предположим теперь, что рассматриваемая нами координата qj является
циклической. Тогда qj не войдёт в V, и, следовательно, будем иметь
dqj Ъ
В этом случае мы получаем обычную теорему о сохранении
количества движения, утверждающую, что если одна из составляющих
полной силы F будет равна нулю, то соответствующая составляющая
количества движения будет постоянной.
Аналогично можно показать, что если циклическая координата qj такова, что
dqj соответствует вращению системы вокруг некоторой оси, то равенство pj
- const выражает теорему о сохранении кинетического момента системы.
Докажем это.
Рассуждая так же, как и раньше, мы приходим к выводу, что координата qj
не может входить в выражение для Т, так как поворот системы не может
влиять на величину скоростей её точек.
Следовательно, должно равняться нулю, а так как V не зависит дЯ]
от qj, то мы опять получаем уравнение (2.45). Но так как qj является
теперь угловой координатой, то нам нужно показать, что обобщённая сила Q*
будет суммарным моментом всех сил относительно оси вращения, a pj -
