Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
проходить через две заданные конечные точки.
3. Задача о брахистохроне. Эта хорошо известная задача состоит в
следующем. Пусть материальная точка, начальная скорость которой равна
нулю, скользит под действием своего веса по некоторой кривой, проходящей
через две заданные точки. Требуется найти такую кривую, чтобы при
движении по ней от верхней точки до нижней требовалось наименьшее время.
Обозначим скорость движения точки вдоль этой кривой через v. Тогда время
её движения вдоль ds будет рав-
ds
ко ", и задача сведётся к нахождению минимума интеграла
Рис. 12. Задача о брахистохроне.
50
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ [гЛ. 2
Если ось у направить вертикально вниз, а начало координат взять в точке,
из которой начинается движение, то теорема о сохранении энергии
рассматриваемой точки примет вид
Интегрирование уравнения (2.11) производится здесь обычными методами, и
мы предоставляем читателям проделать это в качестве одного из упражнений
к этой главе. (Задача о брахистохроне хорошо известна в истории
математики, так как, решая эту задачу, Иван Бернулли заложил основы
вариационного исчисления.)
§ 2.3. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона,
Основная задача вариационного исчисления легко обобщается на случай,
когда / есть функция многих независимых переменных yt и их производных yv
(Конечно, все эти величины рассматриваются как функции переменной х.)
Тогда вариация интеграла J будет равна
8У=8 J fly !(х), уг(х), ..., Ух(х), у2{х), ..., х\йх. (2.12)
Как и ранее, она может быть получена из рассмотрения У как функции а, где
а - параметр, определяющий кривые у^х, а). Так, например, можно'
положить:
где. у1(х,, 0),. уг{х, 0), ... -кривые, реализующие экстремум (они
подлежат определению), а та, т12, ...-произвольные функции х,
обращающиеся в нуль в конечных точках (они появляются при варьировании
кривых с фиксированными конечными точками). Конечно, семейства (2.13) не
являются единственно возможными и приведены
v = V 2gy¦
Тогда выражение для t12 запишется в виде
и, следовательно, / в данном случае будет равно
2
1
yt(x, a) = yl(x, 0)^-aril(x), ] у2, (х> а)=у2(х, 0) + ат,2 (х), [
(2.13)
§ 2.3J ВЫВОД УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА ЙЗ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА
нами лишь для иллюстрации. Дальнейшая процедура проводится здесь так же,
как и ранее. Вариация J имеет вид
f + (2Л4)
да J LA \ ду^ да ду; да )
1 i
Интегрируя по частям Гинтегралы, входящие во вторую сумму уравнения
(2.14), получаем
2
Г JL d'iyi dx =- df д'и
J tyt ду? &а
1
l J да dx \ ду? )
где первое слагаемое правой части равно нулю, так как все кривые у( (х,
а) проходят через фиксированные конечные точки. Подставляя правую часть
последнего равенства в уравнение (2.14), получаем 8/ в виде
'У== f SCt--------J--T-)*yidx' (2-15)
J \dy{ dx dy? J
l 1
где аналогично равенству (2.10)
Так как переменные _уг являются независимыми, то вариации 8уг также будут
независимыми (в частности, функции тц(л;) в выражениях (2.13) являются
независимыми). Следовательно, равенство 8.7=0 будет иметь место тогда и
только тогда, когда все коэффициенты при Ъу? будут равны нулю. Таким
образом, получаем уравнения
df d df 0 2......я), (2.16)
ду{ dx ду{
являющиеся обобщением уравнения (2.11) на случай многих переменных.
Система уравнений (2.16) известна под названием системы дифференциальных
уравнений Эйлера-Лагранжа. Кривые, для которых вариация интеграла (2.12)
равна нулю, описываются функциями yi(x), являющимися решениями системы
(2.16).
Для рассмотренных нами вариационных задач возможны дальнейшие обобщения.
Так, например, можно рассмотреть функцию /, содержащую высшие производные
у, у и т. д., что приведёт к уравнениям, отличным от уравнений (2.16).
Кроме того, можно рассмотреть случаи, когда имеется несколько переменных
xj и интеграл J является кратным; функция / будет тогда содержать
производные от yi по каждому из переменных Xj. Наконец, можно
рассматривать вариации, при которых конечные точки не являются
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА Н ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИП!,I
фиксированными. Некоторые из этих обобщений будут рассмотрены нами позже.
Пока же мы можем ограничиться интегралом типа (2.12), из которого
интеграл Гамильтона
/
(2.2')
получается посредством формальной замены
х -> t
/(Ур Ур .у)qit t).
Уравнения Эйлера - Лагранжа переходят тогда в известные уравнения
движения Лагранжа
dL dL
d
dt dqi
д'1г
¦ О
(/ = 1, 2, . . ., га).
На этом мы заканчиваем доказательство того, что уравнения Лагранжа
вытекают из принципа Г амильтона (для консервативных систем).
§ 2.4, Обобщение принципа Гамильтона на неконсервативные и неголономные
системы. Принцип Г амильтона можно обобщить, по крайней мере формально, и
на неконсервативные системы; при этом мы придйм к уравнениям Лагранжа в
форме (1.50). Обобщённый
таким путём принцип записывается сле-t у дующим образом:
2
8/= 8 J(7'+W)^ = 0, (2.17)
причём конечные точки 1 и 2, как и ранее, должны быть фиксированными. Ве-
личина W определяется здесь равенством
