Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 30

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 161 >> Следующая

обратиться к уравнению (3.15), согласно которому рассматриваемое
одномерное движение есть движение с потенциальной энергией
= <3-22')
Тогда будем иметь
J дг J К') -Г тг$.
что согласуется с формулой (3.22). Таким образом, закон о сохранении
энергии (3.15) можно записать в виде
E = V' + ~mr2. (3.15')
В качестве иллюстрации этого метода рассмотрим график функции V' (г) для
случая, когда сила / является притягивающей и изменяется обратно
пропорционально квадрату расстояния. Такая сила выражается формулой
/= - -
J Г2
(при k > 0 знак минус означает, что сила направлена к центру притяжения).
Соответствующая потенциальная энергия будет равна
v-i.
Фиктивный потенциал V' будет тогда равен
k , /2
V' = -
2rnr* '
График зависимости V' от г показан на рис. 21, где пунктирными
k 1Ъ
линиями показаны функции --и -\~2тг^' а сплошной линией - их сумма V'¦
Рассмотрим теперь движение точки, обладающей энергией Ех (рис. 21 и 22).
Ясно, что эта точка никогда не сможет приблизиться к центру силы более,
чем на гх (рис. 22), так как при г < гх величина V' была бы больше Ev и
тогда согласно выражению (3.15') мы получили бы отрицательную
кинетическую энергию, т. е. мнимую скорость. С другой стороны, здесь не
существует верхнего
80
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[ГЛ. 8
предела для возможных знамений г, и поэтому орбита этой точки не будет
замкнутой. Придя из бесконечности, она ударяется об "отталкивающий
центробежный барьер" и уходит обратно в бесконечность (рис. 23).
Расстояние между линиями Е и V' равно ~ тг2,
т. е. пропорционально квадрату радиальной скорости, и поэтому обращается
в нуль в точке, где г имеет максимум или минимум. В то же
Рис. 21. Эквивалентный одномерный потенциал притягивающей силы, обратно
пропорциональной квадрату расстояния.
Рис. 22. Эквивалентный одномерный потенциал силы, обратно
пропорциональной квадрату расстояния, при Е = Е1^>0. В этом случае
движение точки начинается в бесконечности и заканчивается в
бесконечности.
время расстояние между линиями Е и V на графике 21 представляет
1 9
кинетическую энергию ntvz, соответствующую данному значению г.
Следовательно, расстояние между кривыми V и V' равно ^тг2Ьг.
Поэтому при заданных значениях кинетической энергии и кинетического
момента рассматриваемые кривые определяют скорость точки и её
составляющие для любого расстояния г. Этих данных достаточно, чтобы
получить приближённое представление об орбите точки.
При энергии ?:2 = 0 (см. рис. 21) имеет место аналогичная приближённая
картина для орбиты рассматриваемой точки. Но для любой меньшей энергии,
такой, например, как Е3 на рис. 24, дело уже обстоит иначе. На этот раз
радиус-вектор г будет иметь не только минимальное значение гх, но и
максимальное значение гг, которого
§ 3.3]
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА
81
не было в случае положительной энергии. Поэтому рассматриваемое движение
будет ограниченным и радиус-вектор г здесь будет иметь два крайних
значения: гх и г2, известных под названием апсидальных расстояний.
Отсюда, однако, не следует, что орбиты этих движений замкнуты. Можно лишь
утверждать, что они ограничены и лежат между окружностями радиусов гх и
гг, касаясь их в своих крайних точках (рис. 25).
Если энергия Е будет равна минимуму фиктивного потенциала (энергия Ei на
рис. 26), то г1 будет равно г2, и движение будет возможным только при
одном значении г. Скорость г будет равна нулю, и орбита будет
представлять собой окружность. Вспоминая, что "эффективная сила" /' равна
тангенсу угла наклона кривой V' (г), взятому с обратным знаком,
заключаем, что в данном случае /' будет равно нулю, т. е. будет иметь
место равенство
-/(/-) = ^ = т/-Й2.
Таким образом, мы получили обычное элементарное условие для круговой
орбиты, согласно которому действующая сила должна
уравновешиваться "силой инерции" от центростремительного ускорения *).
Следует подчеркнуть, что все наши рассуждения о характере орбит при
различных значениях Е справедливы для любого значения кинетического
момента. Изменение величины I вызовет лишь количественное изменение
кривой V'(г), но не повлияет на общую классификацию типов орбит.
Впоследствии мы увидим, что в рассмотренном нами случае притягивающей
силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, орбита Ег
представляет гиперболу, орбита Ег-параболу и орбита Е3 - эллипс. При
других силах орбиты могут иметь более сложный
*) Случай Е<^Е± является физически нереальным, так как при этом h Должно
быть отрицательным и, следовательно, г - мнимым.
Рис. 24. Эквивалентный одномерный потенциал силы, обратно
пропорциональной квадрату расстояния, при Е = Е3<^0. В этом случае
движение точки будет ограниченным.
Рис. 23. Орбита точки, эквивалентный одномерный потенциал которой
изображён
82
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[ГЛ. 8
характер. Однако качественная сторона проведённого сейчас исследования
орбит (ограниченных, неограниченных и круговых)
притягивающего потенциала, удовлетворяющего двум следующим требованиям:
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed