Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
с неподвижным центром силы и с одной движущейся точкой, радиус-вектор
которой относительно этого центра равен г, а масса равна
(3.4)
(jj, называют приведённой массой). Следовательно, задачу о движении точек
1 и 2 относительно их центра масс всегда можно свести к эквивалентной
задаче для одной точки.
Соотношение (3.4) часто записывают в виде
i = J-_f-_L. (3.5)
Iл mi ' m% 4
§ 3.2. Уравнения движения и первые интегралы. Мы ограничимся случаем
строго центральной силы, когда потенциал V является функцией только г, и
поэтому сила взаимодействия направлена вдоль г. Из предыдущего следует,
что нам нужно решить задачу о движении точки массы m относительно
неподвижного центра силы, который мы будем считать совпадающим с началом
координат. Так как потенциальная энергия зависит в нашем случае только
74
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[гл. 3
от расстояния г, то мы имеем дело со случаем сферической симметрии, при
которой допустим произвольный поворот около любой оси. Поэтому любая
угловая координата, характеризующая вращение около неподвижной оси,
должна быть циклической. Симметрия рассматриваемой системы значительно
упрощает её исследование. Прежде всего, из сферической симметрии
вытекает, что вектор кинетического момента
будет в нашем случае постоянным. Отсюда следует, что радиус-вектор г
будет всё время перпендикулярным к фиксированному направлению вектора L,
что возможно только тогда, когда вектор г всё время лежит в неподвижной
плоскости, перпендикулярной к L. Следует, однако, заметить, что это
утверждение теряет смысл, если L равно нулю. Но ясно, что в этом случае
мы будем иметь дело с движением вдоль прямой, проходящей через центр
силы. Действительно, из условия Z, = 0 следует, что вектор г параллелен
г, а это возможно только в случае прямолинейного движения *). Таким
образом, движение под действием центральной силы всегда является плоским.
Движение точки описывается тремя координатами; в сферических полярных
координатах ими являются полярный радиус г, азимутальный угол О и угол Ф
между полярным радиусом и осью z. Если направить ось z вдоль вектора L,
то движение будет происходить в плоскости, перпендикулярной к этой оси;
при этом координата ^ будет иметь постоянное значение т./2 и может быть
исключена из последующего рассмотрения. Постоянство вектора кинетического
момента даёт три независимые константы движения (соответствующие трём
составляющим этого вектора). Две из них характеризуют постоянное
направление вектора кинетического момента и уже были использованы нами
при сведении задачи с тремя степенями свободы к задаче с двумя степенями
свободы. Третья константа, равная |Lj, пока ещё нами не учтена и появится
позже.
Лагранжиан рассматриваемой системы, выраженный теперь в плоских полярных
координатах, имеет вид
Как и следовало ожидать, координата 0 является циклической, и
соответствующий ей обобщенный импульс представляет собой кинетический
момент системы, равный
L=rXp
L = Г- V = ~ m (г* + rW) - V (г).
(3.6)
*) Формально это следует из равенства
Г = ГПг + Г 8"в, которое показывает, что если гХт = 0, то 0 = 0.
§ 3.2]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
75
Поэтому одно из двух уравнений движения запишется в виде
d
/V
dt
(тг2Ь) - 0.
Отсюда непосредственно получается первый интеграл
тг2Ь - I,
(3.7)
(3.8)
где I - константа, равная величине кинетического момента. Из уравнения
(3.7) следует также, что
= о.
(3.9)
Коэффициент 72 мы ввели сюда потому, что величина -у г29 представляет
собой векториальную скорость точки, т. е. площадь, описываемую её
радиусом-вектором в единицу времени. Такая интерпретация величины -у г2Ь
становится ясной из рис. 20, из которого
видно, что дифференциал площади, описываемой радиусом-вектором точки за
время dt, равен
йА ¦¦
откуда
-ту г {г d'f),
, db
2!_
dt 2 Г df
Следовательно, постоянство кинетического момента эквивалентно постоянству
секториальной скорости. Таким образом, мы доказали хорошо известный
второй закон Кеплера: радиус-вектор планеты описывает равные площади за
равные промежутки времени. Следует, однако, подчеркнуть, что постоянство
секториальной скорости имеет место при действии любой центральной силы, а
не только силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния.
Второе уравнение Лагранжа относится к координате г и имеет
Рис. 20. Площадь, описываемая радиусом-вектором за время dt.
вид
(3.10)
dV
Обозначая радиальную составляющую уравнение (3.10) переписать в виде
тг - тг О2 = / (г).
через /(/"), мы можем
(3.11)
76
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[ГЛ. 3
Используя первый интеграл (3.8) и исключая из уравнения (3.11) О, мы
получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно г
(ЗЛ2>
Существует ещё один первый интеграл, а именно интеграл энергии (так как
система консервативна). На основании общей теоремы о сохранении энергии
мы можем непосредственно установить, что постоянной движения является
величина
E = lOT(,-2--f гФ) + И(г), (3.13)
где Е - полная энергия системы. Этот первый интеграл может быть получен и
