Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно,
(2.24)
к
2
2
(2.25)
(2.26)
dL d. dL
dqk dt dqk
+ У, haik = 0 (k = n - m 4- 1, ..., n), (2.27)
dm- "
dL_
dqk
¦T< 7^ +- S = 0 (* = 1 ' 2..11~ m)- (2'29>
dt dqk
56 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 2
Объединяя уравнения (2.27) и (2.29), мы окончательно получаем полную
систему уравнений Лагранжа для неголономных систем
= Уц (Л = 1, 2, .... л). (2.30)
dt dqk ддк ЛА 1к
Однако эти уравнения ещё не решают задачи, так как теперь мы имеем п-\-т
неизвестных: п координат qk и т коэффициентов Хг, тогда как система
(2.30) даёт нам только п уравнений. Недостающими уравнениями здесь,
очевидно, будут сами уравнения связи, т. е. уравнения (2.22), связывающие
координаты qk. Однако теперь их следует рассматривать как
дифференциальные уравнения и писать в виде
агкУк~\~ аи~ 0- (2.31)
к
Уравнения (2.30) и (2.31) образуют систему п-\-tn уравнений относительно
п-\-т. неизвестных.
Следует заметить, что в процессе- проведённых рассуждений мы получили
больше результатов, чем предполагали, так как мы определили не только п
координат qk, но и т коэффициентов Хг. Каков же физический смысл этих
коэффициентов? Предположим, что мы освобождаем нашу систему от наложенных
на неё связей и вместо этого прикладываем к ней внешние силы Qk, делая
это так, чтобы не изменить движения системы. Тогда и уравнения движения
останутся теми же самыми, и ясно, что силы Qk будут равны реакциям
связей, так как они являются силами, заставляющими систему двигаться в
соответствии с условиями связей. При наличии сил Qk уравнения движения
будут записываться в виде
d dL dL _
dt dqk dqk *'
но они должны совпадать с уравнениями (2.30). Следовательно,
сумму 2 haik мы можем считать равной Qk (обобщённая сила
реак-
ции связи). Таким образом, в задачах этого типа мы в сущности не
исключаем силы реакции, а получаем их как часть решения.
Заметим, что связь (2.22) не является неголономной связью самого общего
типа. Так, например, этим путём нельзя задать связь, выражаемую
неравенствами. С другой стороны, она включает и голоном-ные связи.
Уравнение голономной связи вида
f(<Jv Як Як • • •> Яп< *0 = °
эквивалентно дифференциальному уравнению Ч^ д/ ,
§ 2.4]
ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА
57
которое будет совпадать с уравнением (2.22), если положить:
а1к -
1L
dqk '
df
ан~1Й '
(2.33)
Рис. М. Обруч, катящийся по наклонной плоскости.
Таким образом, метод множителей Лагранжа можно использовать и в случае
голономных связей. Это целесообразно делать в двух случаях: 1) когда
оказывается неудобным сводить все координаты q к одним только
независимым, 2) когда мы желаем определить реакции связей..
В качестве иллюстрации изложенного метода рассмотрим следующий довольно
тривиальный пример (рис. 14). Круглый обруч скатывается без скольжения по
наклонной плоскости, образующей угол с? с горизонтом. Получим уравнения
движения этого обруча. (Следует заметить, что связь "качения" является в
данном случае голономной, однако этот факт для нас несущественен.)
Обобщёнными координатами здесь будут .v и 0, как показано на рис. 14.
Уравнение связи в данном случае имеет вид
/•rffj -= dx.
Раскладывая кинетическую энергию этой системы на кинетическую энергию
центра масс и кинетическую энергию вращения вокруг центра масс, получаем
7=1л4л:2 + ~МгЧг.
Потенциальная энергия этой системы равна
V = Mg(l - х) sin ?,
где I - длина наклонной плоскости. Поэтому лагранжиан системы будет иметь
вид
Мх* , KW
Т-V ¦¦
¦Mg(l- х) sin ср.
Так как здесь имеется только одно уравнение связи, то нам нужен лишь один
множитель Лагранжа. Коэффициентами уравнения связи здесь будут:
= г,
ах = 1,
и поэтому два уравнения Лагранжа будут иметь вид: Мх - Mg sin <s -f- X =
0, Mr*)- Xr = 0.
(2.34)
12.35)
58
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[гл. 2
Вместе с уравнением связи
гЪ = х (2.36)
они образуют систему трёх уравнений с тремя неизвестными: 6, х, X.
Дифференцируя уравнение (2.36) по времени, получаем
r'j - х
и, подставляя в уравнение (2.35), будем иметь
Мх = X.
Уравнение (2.34) принимает вид
;; _ ?-sin
х ~ ~Т~'
Далее находим:
. Mg sin 9
^ ,
Й _ ? sin
2г
Таким образом, ускорение обруча, катящегося по наклонной плоскости,
оказывается вдвое меньше того, которое он имел бы, если бы скользил по
плоскости без трения. Развиваемая при этом связью
сила трения равна X = Mg sin (r). г г - dv
Из равенства х -г; - получаем, что конечная скорость этого
обруча равна v = Ygl sin '-?• Этот результат можно, конечно, получить и
элементарными методами.
§ 2.5. Преимущества вариационной концепции. Хотя принцип Гамильтона в
форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и
неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен
тогда, когда можно составить лагранжиан из независимых координат.
Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю
механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет
