Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
W = J[Fi-ri. (2.18)
i
Вариация S1F имеет важный физический смысл. Уже отмечалось, что вариации
3
Рис. 13. Варьирование траектории в пространстве конфигураций.
или 8rj подобны виртуальным перемещениям координат системы, так как время
при этом не варьируется. Поэтому варьируемую нами в пространстве конфиг-
раций траекторию можно мыслить как траекторию, получающуюся посредством
ряда виртуальных перемещений точек истинной траектории С (рис. 13).
Каждое такое виртуальное перемещение происходит в данный момент времени,
и силы, действующие в этот момент т систему, имеют
§ 2.4]
ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА
53
определённые значения. Поэтому 81# является работой сил, действую* щих на
систему во время виртуального перемещения от истинной траектории к
соседней, получаемой в результате вариации. Следовательно, принцип
Гамильтона в форме (2.17) можно сформулировать следующим образом:
интеграл от суммы вариации кинетической энергии и виртуальной работы,
обусловленной вариацией, должен равняться нулю.
Вариации 8г* можно выразить через bqj, пользуясь уравнениями,
связывающими гид, причём каждое значение д будет связано с выбранной
траекторией посредством параметра а:
Однако, воспользовавшись эквивалентностью вариаций 8ri и соответствующих
виртуальных перемещений, можно эту процедуру сократить- Действительно,
ранее было показано, что
Можно показать, что в случае, когда силы Qj имеют обобщённый потенциал,
уравнение (2.19) приводится к принципу Гамильтона в обычной форме.
Действительно, интеграл от виртуальной работы будет тогда равен
который совпадает с принципом Гамильтона в форме (2.2).
Перейдём теперь к более общему случаю. Так как кинетическая энергия 7\
подобно лагранжиану L консервативной системы, является
fi - r\gj(я, t), t}.
г
i
Следовательно, уравнение (2.17) можно записать в виде
2
2
(2.19)
2
2
и, интегрируя по частям, будем иметь
2 2
Сравнение (2.19) принимает вид
54
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 2
функцией qj и то первый интеграл в левой части равенства (2,19) можно
записать в виде
5 \тйТ= Г Vf- - -jdt.
J J f \dgj dtdqjJ4i
Объединяя два интеграла, получаем принцип Гамильтона в виде
/2( Щ-Т'Ъ+ъ)'**--"- <2-20>
Отсюда следует, что в случае голономных связей
рассматриваемый
интеграл будет равен нулю тогда и только тогда, когда все коэф-
фициенты при Ьд}- будут равны нулю. Таким образом, получаем:
= (2-21)
dt dqj dqj
Отсюда видно, что уравнение (2.17) представляет обобщение принципа
Гамильтона в форме (2.2), приводящее к уравнениям Лагранжа для случая
неконсервативных сил.
Принцип Гамильтона можно распространить и на неголономные системы. При
выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона или из принципа
Даламбера мы использовали требование голоном-ности связей только на
последнем этапе, когда считали вариации 8^-независимыми. В случае
неголономной системы её обобщённые координаты не являются независимыми и
не могут быть связаны друг с другом уравнениями связи вида f(ql, q2 qn>
0- Однако рассмотрение неголономных систем оказывается возможным, если
уравнения их связей можно представить в виде
2 aik &ЧкЛ~ ан М (2.22)
к
т. е. в виде равенств, связывающих дифференциалы координат q. Заметим,
что вариации, содержащиеся в принципе Гамильтона, являются такими, при
которых время остаётся постоянным (для каждой точки траектории).
Следовательно, содержащиеся в вариациях виртуальные перемещения bq должны
удовлетворять уравнениям связи
2 " 0- (2.23)
к
Индекс I появляется здесь потому, что таких уравнений может быть
несколько; мы будем считать, что имеется m подобных уравнений, т, е. что
1-1, 2, . . ., т.
Теперь мы можем воспользоваться уравнениями (2.23) и сократить число
виртуальных перемещений, оставив только независимые вариации bq.
Исключение этих лишних виртуальных перемещений мы
§ 2.4]
ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА
55
проведём по так называемому методу неопределённых множителей Лагранжа.
Из уравнения (2.23) следует равенство
где лг (1=1, 2, т)-некоторые пока не определённые величины в общем случае
функции времени. Эти т уравнений мы рассмотрим совместно с уравнением
(2.20), которое в случае консервативных систем имеет вид
С этой целью просуммируем уравнения (2.24) по I, а затем проинтегрируем
полученную сумму от точки 1 до точки 2:
Складывая это равенство с уравнением (2.20'), получаем соотношение
в котором вариации bqk не являются еще независимыми, так как они связаны
т соотношениями (2.23). Можно сказать, что первые я- т из этих вариаций
могут быть выбраны произвольно и тогда последние т вариаций определятся
уравнениями (2.23). Однако величинами Хг мы можем распоряжаться по своему
усмотрению. Предположим теперь, что мы выбрали их так, что выполняются
равенства
имеющие структуру уравнений движения для т последних переменных qk.
Тогда, считая, что Хг удовлетворяют уравнениям (2.27), мы можем записать
равенство (2.26) в виде
В этом равенстве независимыми являются все входящие в него вариации bqk.
