Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические
величины, которые не связаны с частной системой обобщённых координат
(кинетическая и потенциальная энергии). Поэтому этот прицип автоматически
инвариантен относительно преобразования обобщённых координат системы.
Другое достоинство этого принципа состоит в том, что его можно легко
распространить на системы, не являющиеся чисто механическими, например,
на упругие среды, электромагнитные поля, поля элементарных частиц и т. д.
Позже мы рассмотрим некоторые из
§ 2.5]
ПРЕИМУЩЕСТВА ВАРИАЦИОННОЙ КОНЦЕПЦИИ
59
этих обобщений, а сейчас проиллюстрируем это на примере следующей простой
системы, выходящей за обычные рамки механики. Предположим, что мы имеем
систему, лагранжиан которой имеет вид
1~
i=42 v?+7 2 (2'37)
,rt з 3 з
Зфк
а диссипативная функция равна
3 = (2-38)
,1
(Обобщёнными координатами qj здесь являются величины Ij.) Уравнения
Лагранжа этой системы будут иметь вид
^+2*.4?+^+?-*,и. <2-39>
le J
3 ф к
Этим уравнениям движения можно дать, по крайней мере, две интерпретации.
Пусть, например, Ij будут силами тока, - коэффициентами самоиндукции,
Mjk- коэффициентами взаимной индукции,
Rj - сопротивлениями, Cj - ёмкостями
и Ej - внешними электродвижущими силами. Тогда уравнения (2.39) будут
описывать систему электрических контуров с индуктивной связью. Так,
например, при у=1, 2, 3 мы получим три контура, схематически изображённых
на рис. 15.
С другой стороны, легко видеть, что два первых члена в выражении для L
представляют некоторую однородную квадратичную функцию обобщённых
скоростей. Всякий раз, когда связи (голономные) системы не зависят от
времени, кинетическая энергия её Т имеет как раз такой вид. Коэффициенты
Lj и Mjk играют при этом роль некоторых масс - они являются инерционными
членами. Следующий член лагранжиана можно трактовать как потенциальную
энергию системы пружин - гармонических вибраторов, - подчиняющихся закону
Гука. Тогда упругая сила такой пружины будет равна
F = - hx,
а потенциальная энергия её будет иметь вид
,, кх^
С; Я,
j-1|--------------VWn
Рис. 15. Система электрических контуров с индуктивной связью. Эту систему
можно описать с помощью уравнений Лагранжа.
60
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[ГЛ. 2
Поэтому коэффициенты 1 jCj можно трактовать как жёсткости этих пружин.
Наконец, последний член лагранжиана можно рассматривать как потенциал,
вызванный движущими силами E<j = Qj, не зависящими от координат, например
гравитационными силами. (Силы Е$ могут, однако, зависеть от времени.) Что
касается диссипативной функции (2.38), то её можно считать вызванной
наличием диссипативных (вязких) сил, пропорциональных обобщённым
скоростям. Такова вторая интерпретация уравнений (2.39) [или функций
(2.37), (2.38)]. Согласно этой интерпретации уравнения (2.39) описывают
сложную систему масс, связанных пружинами и движущихся в вязкой жидкости
под действием внешних сил. Таким образом, мы описали движение двух
различных физических систем посредством одного и того же лагранжиана.
Отсюда следует, что все результаты и методы исследования, связанные с
одной из этих систем, могут быть непосредственно применены и к другой.
Так, например, для изучения рассмотренных выше электрических контуров был
разработан целый ряд специальных методов, которые применимы и к
соответствующим механическим системам. Таким путём было установлено много
аналогий между электрическими и механическими или акустическими
системами. В связи с этим термины, применяемые при описании электрических
колебательных контуров (реактанс, реактивное сопротивление и т. д.),
вполне допустимы и в теории механических колебательных систем*).
Возможны, однако, и другие обобщения классической механики, порождаемые
более тонкой аналогией. Мы видели, что принцип Гамильтона даёт
возможность компактно и инвариантно сформулировать уравнения
механического движения. Подобная .возможность имеется, однако, не только
в механике. Почти во всех областях физики можно сформулировать
вариационные принципы, позволяющие получить "уравнения движения", будь то
уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнения Шрёдингера. Если
подобные вариационные принципы положить в основу соответствующих областей
физики, то все такие области будут обладать в известной степени
структурной аналогией. И если результаты экспериментов указывают на
необходимость изменения физического содержания той или иной теории, то
эта аналогия часто показывает, как следует произвести подобные изменения
в других областях. Так, например, эксперименты, выполненные в начале
этого века, указали на то, что как электромагнитное излучение, так и
элементарные частицы обладают квантовой природой. Однако методы
квантования были сначала развиты для механики элементарных частиц,
описываемой классическими уравнениями Лагранжа. Если электромагнитное
поле описывать с помощью
*) Для более подробного ознакомления см. Н. F. Olson, Dynamical
