Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
S = J 2 {кЛо + kyv% + Vt>
i
где суммирование производится по всем точкам системы. Из этого выражения
видно, что
р_______
fx dvx '
или символически:
Fr^~~Vv%.
Диссипативной функции можно дать физическую интерпретацию. Работа,
расходуемая системой на трение, равна
dWf = Ff • dr =* Ff • vdt - {kv\ + kyv2 + kvfj dt.
Следовательно, величина 2g выражает скорость рассеивания энергии
вследствие трения. Обобщённые силы, обусловленные рассматриваемыми силами
трения, равны
%
что согласно (1.48) равно
** dqj dqj
Уравнения Лагранжа принимают в этом случае вид
d / dL \ _ dL_ d% q
dt \ dqj J dqj dqj
и для того, чтобы получить уравнения движения, нужно задать две скалярные
функции: L и g.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ
[ГЛ. I
§ 1.6. Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что
если система такова, что для неё можно составить лагранжиан, т. е. если
система является голономной и обладает обычным или обобщённым
потенциалом, то имеется весьма удобный способ получения уравнений её
движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции
связей, но при этом получили и другие полезные результаты. Для того чтобы
получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со
многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы
оперируем лишь с двумя скалярными функциями Т и V, что сильно упрощает
поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений
движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод
Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Т и V в
обобщённых координатах, образовать из них лагранжиан L и, подставив его в
(1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых
координат к обобщённым получается для функций Т и V с помощью уравнений
преобразования-(1.36)-и-(1.43). Так, например, функция Т в общем случае
вычисляется по формуле
Ясно, что, раскрывая это равенство, мы получим выражение вида
гфе - а:, aj, ajk-определённые функции г и t и, следовательно,
определённые функции q и t. Действительно, сравнивая два последних
равенства, получаем:
Если уравнения преобразования не содержат явно времени, т. е. если связи
не зависят от времени (склерономные связи),.то два первых члена в
равенстве (1.62) обращаются в нуль. В этом случае 7' будет однородной
квадратичной функцией обобщённых скоростей. Рассмотрим следующие простые
примеры:
1. Движение свободной материальной точки
а) в декартовых координатах, ...
~ m.v2.=
V 1 /V • , дг да -2d 2 mi(2^dqj dt J
Т - a-f 2 a-fi) + 2 ajh4jЯк< 3 !• к
(1.62)
И
§ 1.6] ПРИМЕРЫ ПОЛУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 37
Ь) в плоских полярных координатах.
2. Машину Атвуда.
3. Шарик, скользящий вдоль вращающейся проволоки (пример связи, зависящей
от времени).
1. Движение свободной материальной точки.
a) В декартовых координатах. В этом случае будем иметь;
Т = ~ m (х2 -)- у2 г2)-,
дТ __дТ _дТ_ _0
дх ду дг ' дТ__( Ч дТ_ __ дТ ,f ;
дх~ ду ~тУ' а} ~
и уравнения движения примут вид:
~(mx) = Fx, ¦- (ту) - Fy, ~(mz) = Fs, (1.63)
где Fx, Fy, Fz - обобщённые силы [уравнение (1.50)]. Таким образом, мы
вновь пришли к уравнениям Ньютона.
b) В плоских полярных координатах. В этом случае нам нужно выразить Т
через г и 0. Уравнения перехода от х, у к г, 6, т. е. уравнения (1.36),
имеют вид;
х - г cos У, у = г sin О,
и поэтому скорости х, у равны:
х - г cos 9 - rb sin У, у = г sin 0 -|~ r0 cos 0 [согласно (1.43)].
Следовательно, кинетическая энергия Т- ~ m (х2~\~у2) принимает вид
Т = ± m[r2 + (rb)2]. (1.64)
Формулу (1.64) можно получить иначе, если учесть, что вектор скорости
имеет в полярных кооодинатах две составляющие:
t • 1
г - вдоль г и г0 - перпендикулярную к г (вдоль направления,
опре-
деляемого единичным вектором, который мы обозначим через я). Поэтому
величина v2 будет в полярных координатах равна г2-\-(гЬ)2.
Обобщённые силы Qr и Q, можно получить, исходя из их определения [формула
(1.46)], согласно которому
дг " г
38
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ
[ГЛ. 1
дг
(в соответствии с определением производной вектор направлен
вдоль я; рис. 7).
Так как в данном случае имеются две обобщённые координаты, мы можем
получить два уравнения Лагранжа. Для координаты г
будем иметь:
д? дг
дТ
дг
¦¦ mrb2,
- m-r,
dt \дг J
mr,
и соответствующее уравнение получает вид
tnr - mrb2 = Fr.
Второе слагаемое этого уравнения появляется вследствие наличия
центростремительного ускорения.
mr2b, -(mr2b) = mr2b-\-2mrrb,
Для координаты 0 будем иметь:
дТ п дТ ,/ d
- =0, --~mr2b, - ае ae dt
и соответствующее уравнение примет вид
~ (mr2b) = mr2'b -f- 2mrr Ь - rFs.
Левая часть этого уравнения представляет собой производную по времени от
кинетического момента, а правая - момент действующей силы. Таким образом,
мы вновь получили уравнение (1.24).
2. Машина Атвуда. Эта машина может служить примером консервативной
системы с голономной и склерономной связью (трением в блоке
пренебрегаем).
Здесь, очевидно, имеется лишь одна независимая координата х, так как
