Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Analogies, Нью-Йорк, 1946. (Имеется русский перевод: Ольсон Гарри ф.,
Динамические аналогии, М., ИЛ, 1947.)
§ 2.6)
(коремы о сохранении; с.войства симметрии
61
лагранжиана и вариационного принципа Гамильтона, то методами квантования
элементарных частиц можно будет воспользоваться для построения квантовой
электродинамики (см. § 11.5).
§ 2.6. Теоремы о сохранении; свойства симметрии. До сих
пор мы занимались главным образом получением уравнений движения и очень
мало говорили о методах их решения в тех или иных конкретных случаях (для
которых эти уравнения уже получены). Вообще говоря, этот вопрос является
математическим. Мы видели, что система с п степенями свободы будет
описываться п дифференциальными уравнениями второго порядка относительно
времени. Решение каждого такого уравнения потребует двукратного
интегрирования, что приведёт к появлению (для п уравнений) 2п постоянных.
В каждом конкретном случае эти постоянные будут определяться начальными
условиями, т. е. начальными значениями п координат и п скоростей qj. В
некоторых случаях эти уравнения можно проинтегрировать в элементарных
функциях, однако это удается сделать далеко не всегда; в большей части
случаев эти уравнения оказываются не-пнтегрируемыми. Но даже в этих
случаях часто удаётся получить достаточное количество сведений
относительно физической картины изучаемого движения. Эти сведения могут в
ряде случаев иметь для физиков больший интерес, нежели точное знание
функций qj(t). Поэтому важно знать, как много сведений можно получить
относительно движения данной системы, не интегрируя полностью её
уравнений.
Во многих задачах можно сразу получить первые интегралы уравнений
движения. Мы имеем в виду соотношения вида
f(qv qz, .... qv qv .... t) = const, (2.40)
представляющие дифференциальные уравнения первого порядка. Эти первые
интегралы представляют известный интерес, так как они дают некоторые
физические данные о движении системы. В дальнейшем мы увидим, что они
включают в себя и законы о сохранении, полученные в главе 1.
Рассмотрим теперь систему, находящуюся под действием консервативных сил
(потенциал которых зависит только от положения системы). В этом случае
будем иметь
где pix - х-компонента импульса, необходимого для создания количества
движения Основываясь на этом соотношении, можно
обобщить понятие импульса. Под обобщённым импульсом или обобщённым
количеством движения понимают величину
(2-41)
dqj
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[гл. 2
Таким образом, каждой координате соответствует обобщённый импульс pj.
Величину pj часто называют также каноническим импульсом или импульсом,
соответствующим координате qj. Заметим, что если qj не есть декартова
координата, то pj может и не иметь размерности импульса. Кроме того, если
потенциал системы зависит от скорости, то даже тогда, когда qj является
декартовой координатой, соответствующий обобщённый импульс не будет
совпадать с обычным импульсом в механическом смысле этого слова. Так,
например, в случае частиц, находящихся в электромагнитном поле,
лагранжиан имеет вид
? = 2 т ~ + 2 т А ^
г i i
[см. (1.61)1. Поэтому обобщённый импульс, соответствующий координате *j,
будет равен
= = (2.42)
dxt с
т. е. механическому импульсу плюс некоторый добавочный член.
Если лагранжиан системы не содержит некоторой координаты qj (при этом он
может содержать соответствующую скорость qj), то эту координату называют
циклической или игнорируемой. (Термин "циклическая координата" не
является общепринятым *), но он довольно распространён, и мы будем им
пользоваться). Уравнение Лагранжа
d dL dL q
dt dqj dqj
будет для такой координаты иметь вид
d dL q
dt do.-
ИЛИ
dPj - о,
dt
откуда
Pj - const. (2.43)
*) Понятия "циклическая координата" и "игнорируемая координата" обычно
считаются тождественными и имеющими указанный выше смысл. Однако
некоторые авторы делают различие между этими понятиями, определяя
циклическую координату как координату, не входящую в кинетическую энергию
Т, а игнорируемую координату - как координату, не входящую в лагранжиан
[см. Webster, The Dynamics of Particles (имеется русский перевод: Вебстер
А., Механика материальных точек твёрдых, упругих и жидких тел, М. - Л.,
ГТТИ, 1933) и Byerly, Generalized Coordinates]. Эймс и Мэрнаган (Ames и
Murnaghan, Theoretical Mechanics) пользовались обоими этими терминами,
считая их эквивалентными, но, по-видимому, понимали под этим такие
координаты, которые не входят в Т.
ТЕОРЕМЫ О сохранении; свойства симметрии
63
Таким образом, мы можем сформулировать следующую общую теорему о
сохранении:
Если координата ду- является циклической, то соответствующий обобщённый
импульс остаётся постоянным.
Равенство (2.43) представляет собой первый интеграл типа (2.40) и оно
может быть использовано для формального исключения циклической
координаты. После такого исключения мы получим систему уравнений,
содержащих только оставшиеся нециклические координаты, и задача сведётся
