Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 29

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 161 >> Следующая

другим путём-непосредственно из уравнений движения (3.7) и (3.12).
Запишем для этого уравнение (3.12) в виде
^ = 7^r[V+i~). (3.14)
Умножая это равенство на г, мы в левой его части получаем:
m" = ПГ')•
Правую часть этого равенства тоже можно представить в виде полной
производной по времени, так как если g(r) есть некоторая
, dg (г)
функция г, то равно
^"(г)==дЛ^
dt&\> дг dt Следовательно, уравнение (3.14) можно записать в виде
!(7'";, + 7S3 + vH-
или
Отсюда получаем
j mr* +-J ^ = const. (3.15)
Равенство (3.15) выражает постоянство полной энергии системы, так как
средний член этого равенства можно с помощью уравнения (3.8) переписать в
виде
I/2 1 , ягг282
тг -? = л-г т2г*Ьг - -я- >
2 тг2 2тг% 2
после чего уравнение (3.15) переходит в уравнение (3.13).
§ 3.21
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
77
Рассмотренные первые интегралы представляют две квадратуры, необходимые
для решения задачи. Так как у нас имеются две переменные г и 0, то для
решения уравнений движения нам нужны в общей сложности четыре интеграции.
В результате двух из них мы вместо уравнений Лагранжа получили два
уравнения первого порядка: (3.8) и (3.15). Две другие интеграции могут
быть произведены (формально) разными путями. Наиболее простая процедура,
по-видимому, состоит в интегрировании уравнения (3.15). Решая его
относительно г, находим
<злб)
или
dt =................ dr ¦ -..- ¦ (3.17)
' " ' /а \
/К'
¦V-
2тг2 I
Пусть при t = 0 полярный радиус г имеет значение г0. Тогда правую часть
этого равенства нужно интегрировать от г0 до г:
t== Г-7_-= (3.18)
WOf ¦¦
¦V-
2mr2J
Таким образом, мы получили уравнение, дающее t как функцию г и констант
интегрирования Е, I и г0. Разрешив это уравнение относительно г, мы
сможем получить г как функцию t и тех же констант. После того как
зависимость г от < найдена, можно непосредственно получить функцию 0=0
(t) из уравнения (3.8), которое можно записать в виде
(ЗЛ9)
Интегрируя это уравнение, находим
t
о
где 0О - начальное значение 0. Уравнения (3.18) и (3.20) представляют
результат двух интеграций, которые нам оставалось проделать. Таким
образом, наша задача сведена формально к квадратурам. Полученные формулы
содержат четыре постоянные интегрирования: Е, I, г0, 60. Однако-это не
единственные постоянные, которые можно использовать для характеристики
данного движения. Мы могли бы с тем же основанием взять в качестве таких
постоянных г0, 0О, г0, 0О, так как величины Е и I можно, конечно,
выразить через них. Однако система постоянных, содержащая энергию
78
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[ГЛ. 3
и кинетический момент, является во многих приложениях наиболее
естественной. В квантовой механике, например, теряют силу такие
постоянные, как начальные значения величин г и 0 или гиб, однако там
можно ещё говорить об энергии системы или об её кинетическом моменте.
Одно из существенных различий между классической и квантовой механикой
состоит в закономерностях для величин Е и I в этих теориях. Поэтому при
переходе к квантовой теории важно, чтобы классическое описание системы
давалось через её энергию и кинетический момент.
§ 3,3. Эквивалентная одномерная задача и классификация
орбит. Хотя формально наша задача и решена, однако практически интегралы
(3.18) и (3.20) обычно не выражаются в элементарных функциях, и поэтому в
каждом отдельном случае часто оказывается удобным производить
интегрирование каким-либо другим способом. Но, прежде чем переходить к
решению этой задачи при тех или иных законах изменения силы, мы выясним,
что можно сказать об исследуемом движении вообще, не требуя точного
решения, а пользуясь лишь уравнениями движения и теоремами о сохранении.
Прежде всего заметим, что если энергия точки и её кинетический момент
известны, то величина и направление её скорости могут быть выражены
непосредственно через г. Действительно, из закона о сохранении энергии
Е = ^ mvz~\rV (г)
сразу получаем
v = yr ~[E^V(r)i, (3.21)
что даёт нам величину вектора скорости. С другой стороны, радиальная
скорость этой точки уже была нами найдена - она определяется формулой
(3.16). Но в таком случае-мы можем найти и направление скорости, так как
для этого достаточно знать её величину и радиальную составляющую *).
Эти результаты, а также многие другие можно получить другим путём, если
рассмотреть эквивалентную одномерную задачу. Уравнение (3.12) содержит
только величину г и её производные. Поэтому его можно трактовать как
уравнение воображаемого одномерного движения, если считать массу
движущейся точки равной т, а действующую на неё силу равной
*) Можно поступить и иначе. Из теоремы о сохранении кинетического момента
мы можем найти угловую скорость 0, что вместе с г даёт нам величину и
направление г.
§ 3.3]
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА
79
Смысл добавочного члена Efmr^ становится ясным, если записать его в виде
mv\
тгЬ2 =-------,
г
что представляет собой обычную центробежную силу. Соотношение (3.22)
можно получить также из закона о сохранении энергии. Для этого надо
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed