Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 18

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 161 >> Следующая

где -г) (х) - любая функция х, обращающаяся в нуль при х = хг и х = х2.
Тогда семейство (2.4) будет одним из возможных семейств кривых у(х).
Подставив функцию у(х, я) [не обязательно в виде (2.4)] в выражение
(2.3), мы получим интеграл J как функцию я. Таким образом, будем иметь
./(а) = j f[y(x, я), у{х, я), х] dx, (2.5)
и условие экстремума примет вид
¦г1
Рис. 10. Варьирование кривой У = У (.х).
(2.6)
4t) УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ [гл. 2
Производя дифференцирование под знаком интеграла, получаем

?-/{??+??}*• (2J)
х.
где второй из интегралов правой части равен
Х% ^8
J ду да J ду дхдя
Вычисляя этот интеграл посредством интегрирования но частям, получаем
1% ,;а(tm) dx, (2.8)
J ду дл: да ду да х J dx \ ду / да
Л), 1 ж,
причем (-^р) и будут равны нулю, так как все кривые
семейства у=ау(х, а) проходят через точки (xlt ух), (м2, у2).
Следовательно, первое слагаемое правой части выражения (2.8) обращается в
нуль, и уравнение (2.7) принимает вид
da J \ ду dx ду J да
•"!
Чтобы найти кривую реализующую экстремум интеграла (2.3), умножим
полученное равенство на dv. и положим а *- 0:
f{^-~~ <****¦ (2.9)
\ да )0 J \ ду cf-A: ду / \ да /0
X,
Вариации функций мы будем обозначать символом 8. Таким образом, будем
иметь
(?)"¦*
и аналогично
(последнее равенство нам не потребуется). Очевидно, 8_у представляет
собой произвольную вариацию функции у(х), получающуюся посредством
варьирования произвольного параметра а около значе-
? 2.2] НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВАРИАЦИЙ 4/
иия а = 0. Эта вариация соответствует рассмотренному ранее виртуальному
перемещению *). Но поскольку §у является произвольной функцией х, то
равенство
8У= ?IV-A.XUydX~o
J \ ду dxdy]y
а?!
возможно лишь тогда, когда
0L-li4 = o. (2.11)
ду dx ду
Следовательно, J будет иметь экстремум только для таких кривых у{х),
которые удовлетворяют дифференциальному уравнению (2.11). Это уравнение
обнаруживает большое сходство с уравнением Лагранжа.
Рассмотрим теперь несколько простых примеров на разыскание подобных
экстремумов.
1. Кратчайше расстояние между двумя точками плоскости. Длина элемента
дуги плоской кривой равна
ds - У dx2 -j-dyг.
Полная длина плоской кривой, соединяющей точки 1 и 2, равна

1 а>х
V1+Шdx'
и чтобы кривая была кратчайшей, нужно, чтобы / было минимальным. Таким
образом, мы имеем экстремальную задачу типа (2.3) при
/= 1Л+/ .
Подставляя это значение / в выражение (2.11) и учитывая, что
получаем
или
*(-
^V/i + y*
>0,
*) Символы Ь мы могли, конечно, ввести с самого начала. Поэтому следует
помнить, что в проведённом здесь рассуждении они фигурируют как
символическая запись дифференциала при изменении параметра.
48 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ f Г Л. 2
где с - некоторая постоянная. Это равенство может иметь место только в
том случае, если
у = а,
где а - постоянная, связанная с с соотношением
с
а - -===..
/1- сЗ
Но из равенства у=а следует, что
у = ах-\- Ь,
где b - вторая постоянная интегрирования. Следовательно, искомая кривая
является прямой. Строго говоря, мы доказали только то, что прямая
является экстремалью, однако в данном случае ясно, что она реализует
именно минимум интеграла /. Постоянные интегрирования а и b определяются
из того условия, что искомая кривая
проходит через две заданные конечные ТОЧКИ (Xj, ух) и (х2, у2).
Подобным способом можно найти и кратчайшую кривую между двумя точками
сферы, для чего длину дуги на поверхности сферы нужно выразить через
угловые сферические координаты. Кривые, реализующие кратчайшее расстояние
между двумя точками заданной поверхности, называются геодезическими
линиями этой поверхности.
2. Минимальная поверхность вращения. Рассмотрим поверхность,
получаемую посредством вращения вокруг оси у некоторой кривой, проходящей
через две заданные конечные точки (xv у{) и (х2, у2) (рис. 11). Требуется
найти такую кривую, для которой площадь указанной поверхности будет
минимальной.
Площадь элементарной полоски этой поверхности равна 2nxds -
== 2itx V" 1 -f-угйх, а полная площадь поверхности равна
2 _____
2т: J xV 1 -f- J'2 dx-
i
Экстремум этого интеграла может быть найден с помощью уравне-ния (2.11),
в котором _______
f=,xVl+y*,
и поэтому
df n д/ ху
Рис. П.. Минимальная поверхность вращения.
§ '2.2]
НИКОТОРЫЕ ПРИЁМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВАРИАЦИЙ
45)
Уравнение (2.11) имеет в этом случае вид
Л ( ху \
dx\Vl+y*)
или
О,
ху
а,
/l + У3
где а - некоторая постоянная интегрирования (очевидно, меньшая, чем
минимальное значение х). Возводя в квадрат обе части этого равенства и
группируя члены, получаем
у- (х2 -- а2) = а2, или, разрешая его относительно производной, имеем
dy________а
dx YхЪ - а%
Общее решение этого дифференциального уравнения (с учётом сказанного
относительно а) имеет вид
dx
ух2 - "2
-+ Ь-
a arcch (- b
а
или
X :
у ¦
Эта формула выражает уравнение цепной линии. Постоянные интегрирования а
и Ь определяются, как и ранее, из того условия, что эта кривая должна
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed