Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 17

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 161 >> Следующая

изменения этого состояния. Таким образом, мы исходили из
"дифференциального принципа", каким является принцип Даламбера. Однако
уравнения Лагранжа можно получить и из другого принципа, в котором
рассматривается движение системы за конечный промежуток времени и
небольшие виртуальные изменения движения в этом промежутке. Принципы
такого рода известны как "интегральные принципы".
Прежде чем перейти к их изложению, уточним смысл фразы "движение системы
за конечный промежуток времени". В каждый данный момент времени
конфигурация системы определяется значениями обобщённых координат q1 qn,
и если рассматривать эти
числа как декартовы координаты в я-мерном пространстве, то каждой
конфигурации системы будет соответствовать определённая точка этого
пространства. Такое я-мерное пространство мы будем называть пространством
конфигураций. С течением времени состояние системы изменяется, и точка,
изображающая эту систему, описывает в пространстве конфигураций некоторую
кривую. Мы будем называть эту кривую "траекторией движения системы".
Тогда движение системы можно будет рассматривать как движение
изображающей точки вдоль этой траектории (в пространстве конфигураций).
Время t можно при этом рассматривать как параметр. Тогда каждой точке
траектории будет соответствовать одно или несколько значений t. Следует
подчеркнуть, что пространство конфигураций, вообще говоря, не является
трёхмерным пространством, в котором происходит движение системы (подобно
тому, как обобщённые координаты не всегда являются обычными координатами,
определяющими положение точки). Траектория движения в пространстве
конфигураций, конечно, не будет иметь сходства с истинной траекторией
какой-либо точки рассматриваемой системы; каждая точка траектории в
пространстве конфигураций изображает всю эту систему в некоторый момент
времени.
44
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[ГЛ. 2
Теперь мы можем сформулировать интегральный принцип Гамильтона для
консервативных систем (в более широком смысле, т. е. допускающих
обобщённые потенциалы): истинное движение системы в промежутке от до t2
таково, что интеграл
и
/ = J L dt (2.1)
11
(где L = T-V) имеет при этом экстремум.
Таким образом, из всех возможных движений изображающей точки от её
положения в момент tx до её положения в момент tt истинным будет то
движение, при котором интеграл (2.1) имеет экстремум: максимум или
минимум (рис. 9),
Таким образом, согласно принципу Гамильтона истинное движение таково, что
вариация интеграла / при фиксированных значениях tx и t2 равна нулю:
t3
S/==SJZ'^1' Чп' qv •••• qn' t)dt==Q- (2-2)
t.
Можно показать, что принцип Гамильтона вытекает из уравнений Лагранжа
(см., например, Whittaker, Analytical Dynamics,
4-е изд., стр. 245). Мы сейчас докажем обратное, а именно, что уравнения
Лагранжа следуют из принципа Гамильтона. Эта теорема является более
важной. Таким образом, мы покажем, что механику консервативных систем
можно построить, исходя из принципа Гамильтона как из основного
постулата, заменяющего законы Ньютона. Формулировка законов механики в
виде принципа Г амильтона имеет определённые преимущества: например, при
этом мы получаем принцип, не зависящий от координат, применяемых при
составлении лагранжиана. Более важно другое: что этот принцип указывает
путь, которому нужно следовать при описании с математической строгостью
классической механики явно немеханических систем (например, в теории
поля).
§ 2.2. Некоторые приёмы вычисления вариаций. Прежде чем показать, что
уравнения Лагранжа вытекают из уравнения (2.2), мы сделаем некоторое
отступление и остановимся на методах вычисления вариаций, так как главной
нашей задачей является нахождение кривой, для которой заданный
криволинейный интеграл принимает экстремальное значение.
Рис. 9. Траектория изображающей точки в пространстве конфигураций.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЁМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВАРИАЦИИ
45
Рассмотрим сначала эту задачу в одномерной форме. Для этого попытаемся
найти такую кривую у - у{х), которая на участке х хг реализует экстремум
криволинейного интеграла от заданной функции f(y, у, х), где у = ^~.
Другими словами, для искомой функции у интеграл
i = J/(y, у, x)dx (2.3)
должен иметь максимум или минимум. Переменная х играет здесь роль
параметра t, и мы будем рассматривать лишь такие кривые у(х), для которых
у(х1)-у1, у(х2) = У2 |(РИС- этот чертёж сделан, конечно, не в
пространстве конфигураций).
Чтобы решить эту задачу, мы представим её в форме, позволяющей
использовать обычный аппарат дифференциального исчисления. С этой целью
рассмотрим какое-либо однопараметрическое семейство кривых у(х). Каждой
кривой этого семейства будет соответствовать определённое значение
параметра а, причём некоторым значениям этого параметра, например
значению я'=(Д будут соответствовать кривые, реализующие экстремум
рассматриваемого интеграла. Тогда у будет функцией .V и я. Пусть,
например, у{х, я) имеет вид
у(х, д) = у(х, 0)Д-ят,(х), (2.4)
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed