Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
положение второго груза определяется из того условия, что длина нити,
связывающей грузы, равна I (рис. 8). Потенциаль-ная энергия этой системы
равна Г^П
V - - Mxgx - M2g(l - Х): а кинетическая энергия 1
I -х
Т^^{Мх + Мг)х2.
Следовательно,. её лагранжиан будет 1 ,,, , ,, . •
Рис.
Машина Атвуда.
иметь вид
§ 1.6]
ПРИМЕРЫ ПОЛУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
39
и получаем
или
Далее находим
-5Г-=(м,~мг)е,
дх
М, - Af,
х-ж+щ?-
В данном случае мы имеем лишь одно уравнение движения.
Полученный результат совпадает, конечно, с тем, который получается более
элементарным путём. На примере этой простой задачи мы показали, что
реакции связи-в данном случае натяжение нити - не входят в уравнения
Лагранжа. Поэтому определить натяжение нити, пользуясь непосредственно
методом Лагранжа, конечно, нельзя.
3. Шарик, скользящий по равномерно вращающейся проволоке в
пространстве, свободном от сил. Этот пример выбран нами в качестве
иллюстрации системы со связями, зависящими от времени. Уравнения перехода
к обобщённым координатам содержат в данном случае время явным образом и
имеют вид:
х = г cos шt,
у - г sin оit,
где о)-угловая скорость вращения.
Хотя величину кинетической энергии Г можно в данном случае найти так же,
как это делалось при получении формулы (1.62), однако проще
воспользоваться непосредственно формулой (1.64), учитывая условие связи
а= ш. Тогда получим
Т = 1т(г2 + г2"9).
(Заметим, что Т в данном случае равно L.) Кинетическая энергия Т не
является здесь однородной квадратичной функцией обобщённых скоростей, так
как здесь имеется дополнительный член, не содержащий г. Уравнение
движения будет иметь в данном случае вид
mr - ffirco2 = О,
или
г = газ2.
Это равенство выражает хорошо известный факт, согласно которому шарик
движется от оси вращения под действием центробежной силы.
В данном случае мы, как и ранее, не можем найти рассматриваемым методом
реакцию связи, удерживающей шарик на проволоке.
40
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ
[ГЛ. 1]
Задачи
1. Ядро, находящееся в покое, претерпевая радиоактивный распад, испускает
электрон с количеством движения 1,73 Mev'c и под прямым углом к
направлению электрона - нейтрино с кошчестзом движения 1,00 Mev/c. (Mev =
10е электрон-вольт является единицей энергии, употребляемой в современной
физике; она равна 1,59-10_6 эргов. Соответственно Mev/c является единицей
количества движения, равной 0,533 • 10~16 г ¦ см/сек.) В каком
направлении будет двигаться само ядро? Чему будет равно его количество
движения в Mev/c? Чему будет равна его кинетическая энергия в электрон-
вольтах, если оставшаяся масса ядра равна 3,90 • 10-22 г?
2. Материальной точке, находя дейся на поверхности Земли, сообщена
скорость, достаточная для преодоления силы земного притяжения. Показать,
что минимальное значение этой скорости равно приблизительно 11 км/сек.
(Если пренебречь сопротивлением атмосферы, то система будет
консервативной. Использовать теорему о сохранении суммы потенциальной и
кинетической энергии; влияние Луны не учитывать.)
3. Движение ракет происходит в соответствии с теоремой о количестве
движения. Продукты сгорания топлива отбрасызаются назад через её
хвостовую часть, и так как топливо находится внутри самой ракеты, то
масса её не остаётся постоянной, а убывает по мере сгорания топлива.
Показать, что если пренебречь сопротивлением атмосферы, то для ракеты,
летящей по вертикали в однородном гравитационном поле, уравнение движения
будет иметь вид
где т - масса ракеты, a v' - скорость истечения газов относительно
ракеты. Проинтегрировать это уравнение и получить v как функцию т, считая
dm.
массовый расход постоянным. Рассмотреть ракету, начинающую движе-
I п / \dm\ гГп
ние из состояния покоя со скоростью v' = 2 км/сек и -- = m0iЬО, где
т0 - начальная масса (данные близки к ракете Фау-2). Показать, что
скорость, достаточную для преодоления земного тяготения, эта ракета
сможет достигнуть тогда, когда отношение веса её топлива к весу самой
ракеты (без топлива) будет равно приблизительно 300.
4. Точка движется в плоскости, притягиваясь к неподвижному центру
силой
где г-расстояние от центра притяжения. Найти обобщённый потенциал этой
силы, а также лагранжиан рассматриваемой системы. (Указанная сила F
представляет силу взаимодействия двух заряженных частиц в электродинамике
Вебера.)
5. Составить уравнение движения материальной точки, падающей вертикально
вниз под действием двух сил: силы тяжести и силы трения, получаемой из
диссипативной функции kv2. Проинтегрировать полученное уравнение и найти
скорость как функцию времени. Показать, что максимальное значение
скорости падения (при v0 - 0) равно v = tng/k,
6. Две точки равной массы т соединены жёстким невесомым стержнем длиной
I. Середина этого стержня имеет .возможность двигаться по окружт
ЗАДАЧИ
41
ности радиуса а. Выразить кинетическую энергию этой системы в обобщённых
координатах.
7. Составить уравнения Лагранжа для сферического маятника, т. е. для
