Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
пользовании ею мы не имеем дела с зависимостью 2 от производных • Так,
например, согласно (11.8), (11.12) и (11.15)
OXji
32 2? v d
dr.,*4*
32
* dXk3<
\3xk/
OTy-
32
d-tij
OTijWl/, (11.21)
*) Функциональная производная L no tj характеризует изменение L при
изменении функции т] (х) в окрестности данной точки пространства при
условии, что зависимость т] от t остаётся неизменной.
§ 11.2]
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
377
где dV-элемент объёма. Если же пользоваться функциональной производной,
то этот результат принимает вид
11 = f + (u-22>
j ^ H, br>) '
что, конечно, проще, чем (11.21), так как здесь не фигурируют производные
Что же касается уравнений (11.18), то через
функциональные производные их можно записать в виде
о., (11.23)
dt brjj hrij
напоминающем обычные уравнения Лагранжа.
Следует заметить, что хотя функциональная производная и упрощает
некоторые вариационные процедуры, однако она затемняет тот факт, что
уравнения движения являются уравнениями в частных производных по хк и по
t. Кроме того, время выступает здесь как особая переменная, существенно
отличная от пространственных переменных, в то время как при выводе
уравнений движения мы считали хк и t равноправными параметрами 2. Это
равноправие переменных хк и t немного напоминает специальную теорию
относительности. Произведение dx1dx2dxsdt является здесь, в сущности,
элементом объёма в пространстве Минковского и, следовательно, инвариантно
относительно преобразований Лоренца; если ? есть некоторый инвариантный
скаляр этого пространства, то принцип Гамильтона (11.11) также будет
инвариантен относительно преобразований Лоренца. В ковариантных
обозначениях уравнение (11.17) будет иметь вид
4
V d i?2-
^ dxv- ri ( дг> \
11=1
= 0, (11.24)
и если ? и т] будут скалярами пространства Минковского, то оно будет
релятивистски инвариантным. То же самое относится и к уравнениям (11.18),
инвариантность которых будет обеспечена, если ? будет скаляром
пространства Минковского, а гц будут обладать некоторыми характерными
особенностями, например, будут составляющими 4-вектора.
В качестве простого примера применения полученных уравнений рассмотрим
снова продольные колебания длинного упругого стержня. В этом случае 2
будет определяться формулой (11.9), и поэтому будем иметь:
дЙ п д2 \ дй ^дт]
378 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 1
Следовательно, уравнение (11.17) в этом случае имеет вид
^-Yp1=0,
r dfi dx*
что совпадает с уравнением (11.7), полученным ранее. Это уравнение
описывает распространение волны в одномерном пространстве и для скорости
этой волны даёт выражение
" = (П.25)
совпадающее с известным выражением для скорости продольных упругих волн.
§ 11.3. Звуковые колебания в газах. Для того чтобы проиллюстрировать
изложенные методы, рассмотрим задачу о продольных колебаниях газа. Эти
колебания образуют так называемое звуковое поле, и уравнение, которое мы
получим, будет волновым уравнением распространения звуковой волны.
Перемещение частиц газа будем характеризовать вектором с составляющими
a(i= 1, 2, 3). Следовательно, каждая точка х, у, z будет
характеризоваться тремя относящимися к ней обобщёнными координатами.
Колебания газа мы будем считать малыми и поэтому давление Р и плотность
р, будем считать мало отличающимися от их равновесных значений Р0 И |А0.
Если бы рассматриваемая система была дискретной, то нам нужно было бы
найти её кинетическую энергию Т и потенциальную энергию V, а затем
образовать разность Т - V - L. Но в данном случае L равно /Я Qdxdydz, и
поэтому Т равно интегралу
Ш Xdxdydz, а V - интегралу /Я* dxdydz, где X и 23 -
кинетическая и потенциальная энергии единицы объёма. Поэтому наша задача
сводится к вычислению разности
g = 23. (11.26)
Что касается удельной кинетической энергии X, то она находится без труда.
Учитывая, что мы рассматриваем только малые отклонения от положения
равновесия, будем иметь:
2 = !§Ч2 = у(^ + ^ + 'ф- (11.27)
Удельную потенциальную энергию 23 найти несколько труднее. Потенциальная
энергия газа является мерой той работы, которую он может произвести при
расширении. Рассмотрим теперь массу газа М с равновесным объёмом
М
V.
о
Цо
§ 11.3]
ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ГАЗАХ
379
который мы будем считать достаточно малым. Тогда 'И можно будет считать
постоянным, и потенциальная энергия этой массы газа будет равна 23У0.
Пусть затем этот объём изменяется от У0 до V0-\^dV. Тогда над этим газом
будет совершена работа - PciV *). Следовательно, потенциальная энергия
газа, соответствующая объёму У0-(-АУ, равна
г"+дг
= - f PdV. (11.27а)
Заметим, что, несмотря на малость ДУ, этот интеграл нельзя считать равным
- Р0 ДУ, ибо, как мы в дальнейшем увидим, этот член не оказывает влияния
на уравнения движения. Поэтому давление P(V) будем считать не постоянным,
а изменяющимся по линейному закону на участке от V0 до У0-(-ДУ (рис. 72).
Тогда будем иметь
IV-ДГ
( Рй1У = Р0Ду + 1(^(ДУ)2. (11.28)
