Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 148

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 161 >> Следующая

щ 0
Для того чтобы вычислить производную ^ , обратимся к термодинамике.
Согласно закону Бойля связь между давлением газа и его объёмом выражается
равенством
PV = C (11.29)
(этим соотношением пользовался Ньютон). Однако в данном случае этим
соотношением пользоваться нельзя, так как оно предполагает изотермическое
изменение состояния газа, в то время как звуковые колебания всегда
совершаются так быстро, что температура газа не успевает выравняться.
Поэтому сжатие и расширение газа происходят здесь адиабатически, т. е. по
закону
РУТ==С, (11.30)
где -[ - константа, равная отношению удельной теплоёмкости при постоянном
давлении к удельной теплоёмкости при постоянном
:") Выделим на поверхности газа элемент йА. Действующая на него внешняя
сила равна Р dA и направлена внутрь объёма V0- Но так как при расширении
газа этот элемент движется в направлении наружной нормали и перемещается
на величину dx, то внешние силы совершают при этом работу - Р dA dx = - Р
dV.
Рис. 72. Кривая зависимости давления газа от его объёма.
380 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 1 объёме
*). Следовательно, искомая производная равна
= - -'• (11.31)
\dVJo У0
Изменение объёма газа целесообразно выразить через соответствующее
изменение его плотности. Так как К == Ж/jx, то
ДУ = -- Др,?"-У0а> (11.32)
РРо
где з - относительное изменение плотности, определяемое формулой
Р = Ро(1-Ьа)- (11.33)
Объединяя теперь равенства (11.27а), (11.28), (11.31) и (11.32), получаем
следующее выражение для 23:
23 = Р(р -f- р а2. (11.34)
Теперь нам нужно выразить о через tj. Рассмотрим для этого некоторый
фиксированный объём пространства. Масса газа, выходящего из этого объёма
при небольшом нарушении равновесия, равна
Ро / • dA,
где йА - элемент поверхности, ограничивающей этот объём. Но так как эта
масса должна равняться объёмному интегралу J (Р - Ро) dV, то должно
выполняться равенство
- [х0 J adV = p0f ц-dA, (11.35)
которое можно записать также в виде
-fadV=(v^dV.
Так как последнее равенство должно быть справедливо для любого объёма, то
мы приходим к соотношению **)
а = - V ¦ Yj. (11.36)
Таким образом, мы окончательно получаем:
23 = - P0V • т] + -лу5 (V • Y])2. (11.37)
*) Вывод этой формулы см., например, в книге: М. W. Z е m a n s к у, Heat
and Thermodynamics, McGraw - Hill, гл. VI.
**) Равенство (11.36) можно записать в виде
р. = - V • р4
что представляет обычное уравнение неразрывности газового потока.
§ 11.3]
ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ГАЗАХ
381
Из равенства (11.35) видно, что первое слагаемое выражения (11.34) не
влияет на величину полной потенциальной энергии. Для доказательства
возьмём поверхность, охватывающую весь рассматриваемый газ. Тогда правая
часть равенства (11.35) обратится в нуль, так как газ не выходит за
пределы этой поверхности. Но отсюда
следует, что интеграл J adV, взятый по всему объёму газа, также
будет равен нулю и, следовательно, не войдёт в L. Следует, однако,
заметить, что это обстоятельство не является ещё достаточным для того,
чтобы опустить первое слагаемое формулы (11.37), так как если судить
априори, то это слагаемое, возможно, оказывает влияние на уравнения
движения. (Напомним, что равенство нулю ковариантного гамильтониана не
означает, что он не оказывает влияния на уравнения движения.) Поэтому мы
не будем пока отбрасывать этого слагаемого.
Удельный лагранжиан 8 можно записать теперь в виде
2 = | М + 2P0V • г} - уРо (V • ч)2], (11.38)
откуда видно, что
да d'li д (V • ij)
д{Ш
д (7 • >i)3
Из равенств (11.39) следует, что член 2P0V • не влияет на уравнения
движения. Поэтому мы его теперь опустим и будем писать 2
в виде
2 = |КЧ2 -7-Po(V-4)2]- (П.40)
Получающиеся отсюда уравнения движения имеют вид
= ° (/=1,2,3), (11.41)
что эквивалентно векторному уравнению
7^oVV-4 = 0. (11.42)
Физический смысл полученного уравнения становится более ясным после
умножения обеих частей его на оператор V. Учитывая, что
V • 4 =- о и V • V = V2,
¦ = Wi'
¦ = hk'
= 2 (V • ч) • 8
' °гк-
(11.39)
382 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 1
получаем:
^23 ?о _^L=0. (11.43)
lP0 dt*
Легко видеть, что это есть обычное уравнение трёхмерной волны,
распространяющейся со скоростью
= 1/^-• (11.44)
г Р-о
Таким образом, мы получили известное выражение для скорости звука в газе.
Этим заканчивается решение задачи о составлении уравнений Лагранжа для
звуковых колебаний в газе.
§ 11.4. Уравнения Гамильтона для непрерывных систем.
Уравнения Гамильтона для непрерывных систем можно получить методом,
подобным тому, который применялся в главе 7 для дискретных систем. Для
простоты начнём с системы, рассмотренной в § 11.1 и состоящей из
материальных точек, отстоящих друг от друга на расстоянии а. Каждой
обобщённой координате ги будет соответствовать канонический импульс
А = ~ = (11.45)
dr,i дти
и поэтому гамильтониан этой системы будет равен
И = -J PiTii L==S°'^T'i'- L'
г
ИЛИ
н
В пределе же, когда а -> 0 и >-2, эта сумма переходит в интеграл
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed