Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 142

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 161 >> Следующая

функции Q(7) определяется вещественной частью равенства (10.68), и, как
видно из этого равенства, трение уменьшает частоту со{ до величины §!
ш? Однако если рассеивание мало, то квадратным членом можно пренебречь, и
частоту колебания можно считать равной собственной частоте при отсутствии
трения. Тогда колебание, описываемое функцией С$(0> можно будет
рассматривать как экспоненциально демпфированное свободное колебание. В
этом случае будем иметь
= (10.69)
Если функцию рассеивания нельзя диагонализировать одновременно с Т и V,
то процедура решения уравнений (10.65) становится более сложной. Однако
общий характер решения остаётся
при этом в основном тем же. Будем искать решение уравнений
(10.65) в виде
rtj =5 Caje~M = Са?~уЛе~'2~л'л. (10.70)
Подставив эти выражения в (10.65), получим
2 Vijaj - Ао У. %ijaj - со2 2 Tijdj = 0, (Ю.71)
3 3 3
или, полагая u> = iy.
2 Vtfy-h у 2 %№+? 2 Tijaj = 0. (10.710
3 3 3
Уравнения (10.71) или (10.71') являются линейными однородными уравнениями
относительно aj и имеют нетривиальные решения лишь при определённых
комплексных значениях со (или -(¦). При этом можно
§ 10.5] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ 3(к)
показать, что мнимая часть и> (или вещественная часть у) должна быть
отрицательной. Чтобы доказать это, умножим (10.71') на а* и просуммируем
по /. Проделав это, получим:
2 VijOiOj-h т 2 + т2 2 Тца\а^ = 0, (10.72)
i,j г, 3 3
причём из симметричности коэффициентов Vy, и Гу следует, что каждая из
этих сумм является вещественной (см. § 10.2). Полагая теперь = и
подставляя это выражение в (10.72),
получаем:
2 Vij -|- Щ) т 2 %ij -f T2 2 Ту (apj + = 0,
i>j i, j i,j
(10.72')
что представляет собой квадратное уравнение относительно у. Корнями его
будут комплексно сопряжённые числа у и у* и поэтому сумма их будет равна
удвоенной вещественной части числа у. Но так как сумма корней квадратного
уравнения известным образом выражается через его коэффициенты, то можно
написать:
т + = - 2" = -1S,i |*'*J + W. (10.73)
2j ' 4 {ij + PiPj)
Но диссипативная функция g не может быть отрицательной, а функция Г
является определённо положительной. Следовательно, х есть число
положительное или равно нулю.
Таким образом, колебания системы могут только уменьшаться со временем по
экспоненциальному закону. Заметим, что если функция 3 является
определённо положительной, то х должно быть строго положительным, и
каждая функция (10.70) будет иметь экспоненциальный демпфирующий
коэффициент.
Частота рассматриваемого колебания определяется вещественной частью ш и
зависит от степени рассеивания энергии, однако если демпфирование не
очень велико, то она мало отличается от соответствующей собственной
частоты.
Перейдём теперь к последнему вопросу-к исследованию вынужденных колебаний
при наличии диссипативных сил. Уравнения этих колебаний имеют вид
2 vVii+2 2 Ti/t'j = (10.74)
j j 3
где F ^e~iiat = F i- возмущающая сила, причём F0j может быть комплексным.
Разыскивая частное решение этих уравнений в виде
tij = Aje~imt,
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 101
получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно
амплитуд Aj.
2 Aj (Уи - - (0*7у) - Foi = 0. (10.75)
j
Решая ей, находим
?>Л<о)
чо.7б)
где D(ш) - детерминант, составленный из коэффициентов при Л^-, a Dj(u>)
получается из D(со) посредством замены у'-го столбца на
/уц F0n. Нас будет интересовать знаменатель этой дроби, так
как именно им определяется резонансная характеристика системы. Поскольку
он представляет детерминант векового уравнения, его можно представить в
виде
D(ш)= 0(ш - uyXw-(вг)(о)-ш3) . . . (и) - шп),
где Mj,..., co,j - комплексные частоты свободных колебаний, а О -
некоторая постоянная. Это выражение можно записать также в виде
П
D (о)) = ОЦ [2* (v - -j- /Xj]. (10.77)
i = 1
Желая теперь разделить вещественную и мнимую части Aj, мы должны будем
умножить числитель и знаменатель (10.76) на ?)*(ш). Тогда новый
знаменатель будет равен
П
D*(ш)D(ш) = GG*П [4*2(v - v^ + x*], (10.78)
i = l
откуда видно, что резонанс будет иметь место в том случае, когда частота
v будет совпадать с одной из резонансных частот v4. Однако вследствие
наличия постоянных oq знаменатель (10.78) уже не будет обращаться при
этом в нуль. Это связано с тем, что возмущающая сила должна теперь
совершать работу против сил трения, и поэтому резонансные амплитуды уже
не получаются бесконечными.
Колебания, которые мы рассматривали в этой главе, относились к
механическим системам. Однако легко видеть, что здесь имеется много
сходства с теорией колебания электрических систем. Так, например,
уравнения (10.65) можно рассматривать как относящиеся к п электрическим
контурам, взаимодействующим друг с другом. Тогда коэффициенты Уу будут
играть роль соответствующих электрических ёмкостей, коэффициенты gy -
роль сопротивлений, а коэффициенты Гу - роль индуктивностей. Возмущающие
силы Foie~iait заменятся тогда электродвижущими силами с частотой ш,
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed