Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
<и'47)
Из равенства (11.45) видно, что когда а стремится к нулю, каждый импульс
pi тоже стремится к нулю. Поэтому мы введём так называемый удельный
импульс тг, определив его равенством
38
ТГ = ---;-.
Зт,
Кроме того, введём понятие удельного гамильтониана, понимая под ним
величину
? = ,^-2. (11.48)
§ 11.4] УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 383
Тогда интеграл (11.47) будет интегралом I $dx, и ясно, что
в случае трёхмерной системы с несколькими обобщёнными координатами мы
будем иметь аналогичную формулу
Канонические уравнения движения могут быть получены с помощью той
процедуры, которая применялась нами в § 7.1. Мы будем считать, что ф есть
функция обобщённых координат %(-*(;, t),
удельных канонических импульсов t), производных и,
возможно, времени t. Тогда будем иметь
Написанный здесь интеграл немного напоминает тот интеграл, с которым мы
встречались в принципе Гамильтона в форме (11.13). Поэтому интеграл
мы будем, как и там, брать по частям. При этом получим два слагаемых,
первое из которых можно считать равным нулю, так как область
интегрирования может быть взята настолько большой, что на её границе ч\ и
ф будут обращаться в нуль. В результате dH можно будет записать в виде
или, пользуясь функциональной производной (11.19), в виде
Н = / / / ^ dXl dXi dX'3 = / / J*(S Wh - 2 ) dxi dx2 dxs' (11 -49)
где
(11.50)
dH =
к
h -fif~dt} dxidx2dx3 (11-51)
dH =
384 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 1
(так как ф не является функцией пространственных производных от т:к).
Следует заметить, что подобное интегрирование по частям и последующее
введение функциональных производных (11.19) возможно во всех случаях,
когда вычисляется изменение величины,
дщ дщ
плотность которой зависит от производных или Вспомним теперь, что
согласно (11.49) dH равно 1
dH = J J
( к л
dxl dx2 dxb. (11.53)
Но крайние члены суммы, стоящей в круглых скобках, очевидно,
уничтожаются, что видно из равенства (11.50), определяющего т.к. Кроме
того, согласно уравнениям Лагранжа (11.23)
о L d bL
----------г- = 7Zk.
Ьщ dt Ьщ
Следовательно, равенство (11.53) можно записать в виде
dH = f Г J (]?](- + - ^-dt\dx1dx2dxr (11.54)
( к J
Сравнивая теперь уравнения (11.54) и (11.52), мы получаем систему
уравнений
ЬН • ЬН • ..,
--= - тс*, - = т]к (11.55)
ЬЩ ьщ ш '
и тождество
д$ _______
dt dt
Уравнения (11.55) являются аналогами обычных уравнений Гамильтона и
справедливы для произвольной непрерывной системы. Выражая их через
удельный гамильтониан <?>, получаем:
дщ Л dxj
дЬ
С (4-56)
В этой форме они в отличие от формы (11.55) являются несимметричными (так
как $ не является функцией градиентов величин тг^.).
В качестве простого примера применения этих уравнений рассмотрим опять
звуковые колебания газа. Величины ък будут здесь, очевидно, равны
§ 11.4] УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 385
что можно записать в виде векторного равенства
n = (V"j.
Поэтому удельный гамильтониан $ будет в этом случае равен
? = -8= + (11.57)
[см. уравнение (11.40)]. Отсюда видно, что ф равно
т. е. равно сумме удельной кинетической и удельной потенциальной энергий.
Поэтому ф в данном случае есть просто удельная энергия *). Таким образом,
канонические уравнения данной системы будут иметь вид:
Совокупность этих двух систем эквивалентна уравнениям (11.41). (Первая из
этих систем лишь повторяет равенства, выражающие величины 7zk.)
Большую часть формальных результатов, полученных нами ранее в связи с
уравнениями Гамильтона (теоремы о сохранении, скобки Пуассона и т. д.),
можно легко распространить и на случай непрерывных систем. Например,
модифицированный принцип Гамильтона будет теперь иметь вид 2
- dxx dx2dx3 dt= 0. (11.58)
i к
В качестве другого примера рассмотрим теорему о сохранении, а именно
теорему о сохранении самого гамильтониана. Полная про-dH
изводная -- равна
ТГ = J J j {2 Шг ¦^+ W''*) + тг}'dx'**"¦
что согласно уравнениям (11.55) можно записать в виде
dt J J J \ OTfifc ъщ <jnk ovue/'dt) 1 2 3
ИЛИ
~df = J J J ~дГ dXl йХг dXr
*) Мы опустили член, линейный относительно V • vj, так как было пока-
зано, что он не оказывает влияния на полную энергию.
386 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 1
Таким образом, Н будет постоянным тогда, когда ф (или Н) не является
явной функцией t.
Рассмотрим теперь какую-либо функцию G, не зависящую явно от f и имеющую
вид интеграла
(c) dxx dx2 dx3.
Полная производная её по времени будет равна
4r= J J J %{l^;* + i^*b)dxidx2dx,,
что с помощью уравнений движения можно записать в виде dG
dt
f ( [yj{^=L^- - -^-^-)dx1dx2dx.i. (11.59)
J J J jU \ OYjft onft 0Щ 0rlk J i г i \ )
Но правая часть этого равенства является очевидным аналогом скобок
Пуассона [G, Н\ [см. равенство (8.42)]; суммирование по обобщённым
координатам заменяется здесь интегрированием по "непрерывным номерам"
х2, -м3 и дискретному индексу к.
Поэтому можем написать
^ = [G, Н], (11.60)
а в случае, когда G будет явной функцией t, мы, очевидно, получим
