Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
лангранжиана 8. Будем исходить из принципа Гамильтона, который теперь
принимает вид
2
87=8 ш/ Qdxdydzdt = 0 (11.11)
i
Характер фигурирующей здесь вариации почти такой же, как у рассмотренных
нами ранее. Параметры х, у, z в процессе этого варьирования не участвуют,
и все вариации берутся при постоянных
374 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 11
х, у, z и t. Пределы интегрирования по t, х, у, иг при этом не меняются.
Что касается вариаций от;, то они должны обращаться в нуль не только в
точках t = tl и t=t2, но и в любой точке на границе объёма
интегрирования.
Переход к задаче на обычный экстремум можно здесь провести так же, как и
в случае дискретной системы, т. е. вводя семейство возможных траекторий и
характеризуя их значениями некоторого параметра а. Однако так как по о-
вариациям у нас накоплен достаточный опыт, то мы можем и не вводить этого
параметра, а пользоваться самим символом S, помня при этом, что
Так как 2 есть функция не только т; и тг(, но также и производных тг; по
х, у, г, то вариация 2 равна
где х, у, г заменены для удобства на xv х2, х3. Поэтому принцип
Гамильтона можно записать в виде
Применяя интегрирование по частям (как это делалось при выводе обычных
уравнений Лагранжа), получаем:
Аналогичным образом можно поступить и с интегралами, содержа-
(11.13)
2
2
1
1
щими вариации
будем иметь
Переставляя местами символы В и к дхк
§ 11.2] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
375
и, выполняя интегрирование по частям, получаем *):
•' "*и*У1
(11.15)
Первый член этой разности обращается в нуль (так же, как в интеграле по
времени), ибо в крайних точках интервала интегрирования от, равно нулю.
Здесь, впрочем, может возникнуть некоторая трудность, так как размеры
рассматриваемой системы могут быть бесконечно большими. Однако при
стремлении г к бесконечности т] большей частью быстро стремится к нулю, и
поэтому первый член разности (11.15) можно считать равным нулю и в этих
случаях. Кроме того, мы можем поступить формально и вести интегрирование
по конечной области, а после опускания первого слагаемого (11.15) можем
считать допустимыми и бесконечные размеры области интегрирования.
Таким образом, принцип Гамильтона принимает вид
Обращаться в нуль при произвольном от](л:1, х2, х3, t) этот интеграл
может только тогда, когда
з
Мы знаем, что в случае системы с п степенями свободы имеется п уравнений
Лагранжа. Поэтому может показаться странным, что для системы с
бесконечным числом степеней свободы получено только одно уравнение
(11.17). Следует, однако, помнить, что в обычные уравнения Лагранжа
входит только одна независимая переменная - время, а в уравнение (11.17)
входят четыре переменные: х1У
хг, х3, t. Поэтому уравнение (11.17) является уравнением в частных
производных. Можно смотреть на него как на сумму обыкновенных
дифференциальных уравнений, получающихся при фиксированных
*) Переход от частной производной по xji в (11.14) к полной производной в
(11.15) может вызвать некоторые недоразумения. В первом случае частная
производная указывает на то, что т) есть функция не только лг*, но и (, а
также других координат. Что касается второго случая, то в выражении
(11.15) мы не можем употреблять символ частной производной, так как это
означало бы, что рассматривается лишь явная зависимость g от хПоэтому мы
пользуемся здесь символом полной производной, желая подчеркнуть, что эта
производная учитывает и неявную зависимость от х^, вносимую переменной
rj. Так или иначе, но смысл операций, которые здесь должны быть
выполнены, совершенно ясен.
(11.16)
d д2 , d Г dg
(11.17)
376 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 11
значениях xv х2, х3. Тогда число этих уравнений будет бесконечно велико,
что согласуется с бесконечно большим числом степеней свободы.
При выводе уравнения (11.17) мы предполагали, что каждая точка системы
может совершать лишь один вид перемещения, описываемого величиной Tj.
Однако в более общей задаче, такой, например, как задача о колебаниях
упругого тела, будут иметь место перемещения по всем трём направлениям. В
этом случае будет иметься не одна обобщённая координата, а три, которые
мы будем обозначать индексом j: хг, х3, t), где /=1, 2, 3. В более
общем случае может быть и не три обобщённые координаты, а больше, и тогда
8 будет функцией всех обобщённых координат и их производных по хх, х2,
х3, t. Каждой обобщённой координате Hj(xv х2, х3, t) будет
соответствовать одно уравнение движения, имеющее вид
d 32
dt dt}j
д_
1 дхк
32
32
дг,,-
О
U= 1,2,...). (11.18)
Обозначения, которыми мы пользуемся, станут намного проще, если ввести
так называемую функциональную производную *) или вариационную производную
лагранжиана L по т^, равную
S8 <"•¦"
dxk /di\
*" Лщ
Аналогичным образом определяется и функциональная производная L по т\j,
но так как 8 не зависит от градиента производной т^-, то
ЬЬ 32
(11.20)
Преимущество функциональной производной состоит в том, что при
