Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 150

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 161 >> Следующая

d0 - !Г, Н\ dG
~!Г [ Я1 + ^Г'
что совпадает с равенством (8.58). Следовательно, если G не является
явной функцией I и скобки Пуассона [G, Н] обращаются в нуль, то G будет
сохраняться постоянным. Заметим, что этот результат справедлив и тогда,
когда (c) есть функция пространственных производных Т| или тг, что видно из
проведённого доказательства.
Таким образом, теоремы о сохранении можно получить здесь тем же методом,
что и в обычной теории. Между интегральными константами движения и
свойствами симметрии системы также имеется известная нам связь. Однако
следует подчеркнуть, что, кроме этих "микроскопических" констант
движения, имеются ещё и "микроскопические" теоремы о сохранении. Эти
теоремы относятся не к интегральным величинам, а к дифференциальным, т.
е. к плотностям. Например, можно получить теоремы, выражающие свойства
неразрывности внутреннего потока энергии, количества движения и
кинетического момента. К сожалению, мы не можем останавливаться на этих
вопросах и отсылаем интересующихся читателей к литературе, приведённой в
конце главы.
§ 11.5] ОПИСАНИЕ ПОЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ 387
§ 11.5. Описание полей с помощью вариационных принципов.
Методы, изложенные нами в предыдущих параграфах, были развиты для
исследования непрерывных механических систем, например упругих тел.
Однако эти методы можно использовать и для получения уравнений поля, так
как с математической точки зрения поле представляет одну или несколько
независимых функций от х}- и t, и их можно рассматривать как обобщённые
координаты х2, х3, t).
Заметим, что некоторые поля, встречающиеся в физике, можно действительно
связать с движением некоторой непрерывной среды. Таким является,
например, звуковое "поле", связанное с продольными колебаниями частиц
материальной среды. Точно так же электромагнитное поле долгое время
связывалось с упругими колебаниями неведомого эфира, и лишь в последнее
время стало ясно, что эфир играет лишь роль объекта, к которому относятся
слова "передавать возмущение" (по выражению С. Л. Квимби).
Если вариационные методы, изложенные в предыдущих параграфах, не
связывать с понятием непрерывной механической системы, то они могут
служить для получения уравнений пространственно-временного поля. Принцип
Гамильтона будет тогда служить компактным выражением свойств этого поля.
Так как удельный лагранжиан мы.не будем теперь связывать с определённой
механической системой, то он не обязательно должен быть равен разности
удельных энергийкинетической и потенциальной. Вместо этого мы можем взять
для 8 любое выражение, приводящее к нужным уравнениям поля. Рассмотрим,
например, поле, возникающее при звуковых колебаниях газа. В § 11.3 при
описании этого поля мы рассматривали перемещения отдельных частиц газа и
принимали эти перемещения за обобщённые координаты. Однако это поле
является, в сущности, скалярным, так как для его исследования можно
пользоваться лишь одной величиной - скаляром а, представляющим
относительное изменение плотности. Поэтому а является здесь естественной
координатой, и именно через неё должна выражаться величина 8. При этом 8
должно быть таким, чтобы полученное из него уравнение совпадало с
волновым уравнением (11.43). Легко видеть, что этому условию
удовлетворяет следующее выражение для 8:
*=тЙг'-<Н=-т 2 Ш ¦ (11'61>
к
Действительно, согласно (11.61) имеем:
д2 " д2 и-оа д2____да
д° " ' di ~ Чро ' д( дз \ ~~~
I дхк}
388 методы лагрлнжА и Гамильтона для непрерывных систем [гл. 11
Поэтому уравнение (11.17) будет здесь иметь вид
Чро дР Y дх\
И-о дЬ -у дЬ _п
..п л*" 7j . о -
что совпадает с уравнением (11.43). Заметим, что выражение (11.61) не
совпадает с выражением (11.40), полученным нами для 2 в § 11.3. Кроме
того, ни один из членов выражения (11.61) не является удельной
кинетической или удельной потенциальной энергией. Тем не менее, мы видим,
что это 2 приводит к правильному волновому уравнению, т. е. удовлетворяет
поставленной цели.
Для описания звукового поля можно также пользоваться удельным
гамильтонианом
Легко видеть, что это выражение приводит к нужному нам уравнению поля,
хотя оно и отличается от (11.53) и не выражает плотности энергии
механической системы.
В качестве более сложного примера образования лагранжиана рассмотрим
электромагнитное поле в вакууме. В этом случае Е = D и В = Н (в единицах
Гаусса), и уравнения Максвелла (1.55) принимают вид
Первая пара этих уравнений, т. е. уравнения (11.63), эквивалентна
следующим:
которые выражают тот факт, что поле имеет скалярный и векторный
потенциалы. В противоположность этому уравнения (11.64) описывают процесс
образования и изменения поля под действием зарядов и токов. Поэтому
именно их мы будем рассматривать как уравнения поля. Так как шесть
составляющих этого поля не являются независимыми, но могут быть выражены
через четыре составляющие потенциалов, то в качестве обобщённых координат
этого поля выберем потенциалы А и ср.
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed