Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем теперь, что уравнения (11.64) можно получить с помощью удельного
лагранжиана
(11.62)
(11.64)
(11.63)
(1.58)
(1.57)
B = VXA,
(11.65)
где Е и В - правые части равенств (1.58) и (1.57). Вычисляя для
§ 11.5] ОПИСАНИЕ ПОЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ 389
этого производные 2 по ср и по будем иметь:
dQ dQ Ек дЕк ?,
Но так как производные - вообще не входят в 2, то уравнение
Лагранжа, соответствующее координате ср, будет иметь вид
~LV-^ -р = 0, или V ¦ ?= Ат.р,
4л дхк г '
к
что совпадает с первым из уравнений (11.64). Получим теперь уравнения
Лагранжа для составляющих вектора А. Рассмотрим для этого одну из таких
составляющих, например Av Вычисляя связанные с ней производные 2,
получим:
т dEi -____________§1.
с ' 4к dAi 4лс
dQ 1 dB% Въ dQ В%
Поэтому уравнение Лагранжа, соответствующее координате Ах, будет иметь
вид
1 /ЙЛз_|В2\_ 1 _^1_4===0. (11.66)
4л \ dx 2 dxs J 4л с dt с
Легко видеть, что, проектируя уравнение
<?хв)-)-§=?
на ось xlt мы получаем точно такой же результат. Следовательно, для
координаты At мы получили нужное нам уравнение и точно также могли бы
получить уравнения и для координат А2 и А3. Таким образом, удельный
лагранжиан (11.65) приводит к уравнениям Максвелла (11.64)*).
*) В некоторых отношениях электромагнитное поле представляет собой
неудачный пример. Одной из трудностей здесь является отсутствие в 8
производной ср и, следовательно, отсутствие канонического импульса,
соответствующего ср, что затрудняет применение метода Г амильтона,
изложенного в § 11.4. В сущности, источник появляющихся здесь трудностей
заключается в том, что скалярный и векторный потенциалы являются не
вполне независимыми, так как они связаны между собой так называемым
калибровочным условием. Оно является дополнительным условием, позволяющим
исключить одну из обобщённых координат и оставить только независимые
координаты. Подробнее смотри об этом в книге: Q. W е n t z е 1,
Introduction to the Quantum Theory of Fields. (Имеется русский перевод:
Венцель, Введение в квантовую теорию волновых полей.)
390 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 1
Плотность тока можно записать в виде
j = ov, (11.67)
где р--плотность заряда, a v - его скорость, являющаяся некоторой
функцией г. Учитывая это соотношение и интегрируя (11.65), мы получаем
следующее выражение для полного лагранжиана электромагнитного поля:
<1L68>
Следует заметить, что выражение, стоящее в круглых скобках, уже
встречалось нам при вычислении лагранжиана заряженной частицы в
электромагнитном поле [см. уравнение (1.61)]. Таким образом, эта часть L
является обобщённым потенциалом заряженной точки.
Если в поле имеется заряженная частица, то её масса и заряд будут
сконцентрированы в одной точке пространства. Следовательно, плотность её
заряда должна равняться нулю всюду, кроме этой точки, где эта
плотность должна быть бесконечной. Однако объёмный интеграл от
этой плотности должен равняться полному заряду
рассматриваемой частицы. Поставленному условию удовлетворяет известная о-
функция Дирака, определяемая равенствами
0 (г - гх) = 0 (г ф гг), I
> (11.69)
b(r - r1)dV=\, j
где гх - радиус-вектор данной частицы. Из этих равенств следует также,
что если f (г) есть некоторая функция г, то
J7(r)8(r- г x)dV = f(r1). (11.70)
Поэтому для группы из п частиц функция плотности р(г) будет иметь вид
р(0 = 2 ЧФ(Г Гг)> (П.71)
г = 1
где qi-заряд г-й частицы, a - её радиус-вектор.
Из (11.70) следует, что если р(г) определяется формулой (11.71), то
интеграл
f Р (О {? (г) - v ' Ас (-} dV
равен
1
Следовательно, если в поле имеется п заряженных частиц, то полный
лагранжиан этого поля будет иметь вид
(*?2_52 VI../ VrAt\
Г
§ 11.5] ОПИСАНИЕ ПОЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ 391
(ср* и А{ берутся при г = г{). Сравнивая выражения (11.72) и (1.61),
видим, что входящая в (11.72) сумма есть обобщённый потенциал системы,
состоящей из п заряженных частиц. Поэтому можно объединить лагранжианы
(1.61) и (11.72), добавив к (11.72) кинетическую энергию этих частиц:
г г
что можно записать также в виде
J (1L73'}
i г
Это выражение, так же как и выражение (11.73), является лагранжианом
системы, состоящей из электромагнитного поля и п заряженных частиц. Оно
является функцией обобщённых координат <p(xlt х2, х3) и Д(х1, х2< xs), а
также обобщённых координат г*. Таким образом, мы одновременно описываем
две системы: электромагнитное поле и находящиеся в нём частицы. Пользуясь
теперь принципом Гамильтона и варьируя только потенциалы, получим
уравнения Максвелла для электромагнитного поля, а варьируя координаты
частиц, получим уравнения движения этих частиц. Заметим, что первый член
выражения (11.73) представляет собой лагранжиан поля в случае отсутствия
заряженных частиц, а последний - лагранжиан этих частиц в случае
отсутствия поля. Средний член этого выражения, очевидно, отражает
взаимодействие поля и заряженных частиц.
Мы видели, что вариационные принципы позволяют получить компактное и
