Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
изящное описание поля. Может, однако, возникнуть вопрос: каковы
практические преимущества этого метода по сравнению с методом
непосредственного составления уравнений поля? На это следует ответить,
что наиболее важные преимущества проявляются здесь в области, лежащей за
пределами классической физики. Поэтому мы остановимся на них совсем
кратко.
Во-первых, этот метод позволяет получать новые поля и исследовать их
свойства. Дело в том, что при выборе возможного выражения для 2 мы всегда
ограничены тем требованием, что 2 должно содержать только координаты и их
первые производные по xt и t и, кроме того, должно быть инвариантом
Лоренца. Пусть, например, имеется только одна обобщённая координата т],
которая должна быть инвариантным скаляром (или псевдоскаляром). Тогда
указанным требованиям будут отвечать только члены вида
9- а-
где Ар - внешний инвариантный вектор (или псевдовектор). Поэтому в случае
скалярного поля любое 2 должно быть комбинацией этих
392 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 11]
членов. Этим путём можно исследовать многие общие свойства такого
скалярного поля, не зная его физической сущности. Последнее время этим
методом часто пользуются в теоретических работах по полям мезонов.
Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей.
Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно
осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что
классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат
соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сущности,
мы только тогда умеем квантовать систему, когда можем говорить о ней на
языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую теорию
электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить
его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы
Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе.
1. (а) Поперечные колебания растянутой струны можно апроксимиро-вать
колебаниями системы, состоящей из равноотстоящих материальных точек,
расположенных на невесомой упругой нити. Покажите, что при сближении этих
точек лагранжиан такой системы стремится к пределу
где Т - первоначальное натяжение струны. Каковы здесь уравнения движения,
если плотность р есть функция х!
(Ь) Получите лагранжиан для непрерывной струны, рассмотренной в задаче
(а), непосредственно вычисляя её кинетическую и потенциальную энергии.
(Потенциальная энергия равна работе силы Т при растяжении струны во время
колебаний.)
2. Получите уравнения Гамильтона для непрерывной системы, исходя из
модифицированного принципа Гамильтона (11.58) и следуя процедуре,
описанной в § 7.4.
3. Покажите, что если за независимые переменные поля принять 6 и ф*, то
удельный лагранжиан
приведёт к уравнению Шрёдингера
и к соответствующему комплексно сопряжённому уравнению. Каков здесь
канонический импульс? Получите удельный гамильтониан, соответствующий
этому 2.
4. Покажите, что если удельный гамильтониан не является явной функцией
т^, то интеграл
Задачи
к
будет величиной постоянной.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
393
Величина G( является аналогом полного количества движения поля в
направлении х$, а эта теорема - аналогом теоремы о сохранении количества
движения дискретных систем (см. § 8.6).
5. Удельный лагранжиан электромагнитного поля даётся релятивистской
ковариантной формой
1 V4 / дА^ (ЭА, \2 1 vr / дА,
о ________1_ V (--L - )______L V ( ' У 4-
16я Zj V дх., дх" ) 8л Zj V дХу, ) Zd I
im ' 1^ -11
где Аа - 4-вектор потенциала, а /а - 4-вектор с составляющими J и ip
Покажите, что этот лагранжиан приводит непосредственно к волновым
уравнениям
4 л/а
Покажите также, что он идентичен лагранжиану, который рассматривался в
этом параграфе (за исключением среднего члена, который в любом случае
равен нулю вследствие калибровочного условия).
Рекомендуемая литература
Т. С. Slater and N. Н. Frank, Mechanics.
Излагая механику непрерывных систем, мы только составляли уравнения
движения, но не рассматривали их решений, так как для исследования
колебаний струн, мембран, жидкостей и твёрдых тел потребовался бы целый
том. В книге Слэтера и Франка этим вопросам посвящена почти половина
всего объёма. Эта книга написана легко, а местами даже элементарно и
может служить введением в рассматриваемый предмет. Переход от дискретной
струны к непрерывной в случае поперечных колебаний рассмотрен здесь в
главе VII.
Lord Rayleigh, The Theory of Sound.
Эта монография содержит много материала по колебаниям непрерывных тел.
Исследование волнового уравнения, описывающего распространение звука в
газе, проводится в главе XI, т. 2, где весьма подробно рассматривается
адиабатическое и изотермическое движение газа.
Q. Wentzel, Introduction to the Quantum Theory of Fields.
Классическая механика весьма подробным и исчерпывающим образом
рассматривается во многих классических работах. Однако многие вопросы
