Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 143

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 161 >> Следующая

приложенными к одному или нескольким контурам, а уравнения (10.74) будут
играть роль уравнений (2.39) главы 2.
^Адачи
367
Изложенные нами здесь методы представляют лишь часть тех методов, которые
применяются при исследовании малых колебаний. Однако дальнейшее
исследование этого вопроса скорее относится к теории взаимодействия
электрических контуров, чем к механике.
Вместо этого мы обратим наше внимание на теорию колебаний непрерывных
систем. Исторически переход от дискретных систем к непрерывным
(осуществлённый Рэлеем и другими) был сделан для исследования колебаний
струн, мембран и балок. Другим примером непрерывной системы может служить
одна или несколько величин, являющихся функциями х, у, z и t - другими
словами, переменное поле. Поэтому методы изучения непрерывных
механических систем могут быть применены и к изучению полей, например к
электромагнитному полю. В современной теоретической физике эти методы
приобрели важное значение при квантовом исследовании полей элементарных
частиц, обнаруженных в последнее время в большом количестве.
В следующей главе мы кратко изложим основные вопросы классической
механики непрерывных систем.
Задачи
1. Определите главные колебания двойного маятника, изображённого на рис.
5, считая длины его нитей равными, а массы различными. Покажите, что если
нижняя масса мала по сравнению с верхней, то собственные частоты этой
системы почти одинаковы. Рассмотрите случай, когда этот маятник
приводится в движение посредством небольшого отклонения верхней массы от
вертикали. Покажите, что в дальнейшем амплитуда каждой из его масс будет
периодически уменьшаться до нуля, а амплитуда другой будет достигать при
этом максимума ("биение").
2. Для сведения задачи о линейной трёхатомной молекуле к двум степеням
свободы можно ввести координаты у% = х2 - хь у2 = -Уч-и исключить х2 с
помощью условия о неподвижности центра масс. Получите частоты главных
колебаний в этих координатах и покажите, что они совпадают с полученными
в § -10.4. (Расстояния и у2 называют внутренними координатами молекулы.)
3. Пусть средний атом молекулы, рассмотренной в § 10.4, будет связан с
началом координат пружиной жёсткостью k. Найдите частоты продольных
колебаний этой системы и покажите, что в этом случае не будет частоты ш =
0.
4. Молекула состоит из трёх одинаковых атомов, расположенных в вершинах
равнобедренного прямоугольного треугольника и связанных пружинами равной
жёсткости. Получить детерминант векового уравнения, определяющего частоты
её плоских колебаний. Преобразуя столбцы этого детерминанта, покажите,
что он имеет трёхкратный корень <о = 0, и найдите остальные его корни.
5. Пусть молекула, указанная в задаче 4, совершает одно из следующих
движений: а) равномерное поступательное движение в направлении оси х, Ь)
равномерное поступательное движение в направлении оси у, с) равномерное
вращение вокруг оси г. Покажите, что в каждом из этих случаев
удовлетворяются уравнения её движения.
6. Покажите, что если возмущающие силы Qt не являются синусоидальными и
демпфирование отсутствует, то главные колебания определяются
368
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 10]
формулами
-j-CO
г 1 Г Gj Н r~iwt У2тс J ш2_со2
cfa,
где Oj(oj) связано с Q4- преобразованием Фурье
+ 00
Qi-(0 = -7= j Ог"<Г*"г rfco.
' - со
Покажите также, что если диссипативная функция диагонализируется
одновременно с Т и V, то вынужденные колебания определяются формулой
+ 00
, 1 Г 0<НК-"> + *"&)
_/ТГ- J , 2 2,2 , ?~2 е
(Знаменатель написанной дроби имеет типичную "резонансную форму". Эти
формулы могут служить иллюстрацией эффективности операторного исчисления
при изучении переходных процессов в линейных системах.)
7. Точка движется по круговой орбите под действием силы, направленной
к центру этого круга. Исследуйте движение этой точки после небольшого
начального возмущения, введя для этого разностные координаты р = г - г0 и
ср = 0 - шД где г0 - радиус круговой орбиты, а со - угловая скорость
установившегося движения. Выразите Т и V в этих координатах, пренебрегая
членами выше второго порядка малости относительно р и ср. Получите таким
способом уравнения движения и выведите условия устойчивости
первоначального движения. Покажите, что если V пропорционально г~п+!, то
оно будет устойчивым лишь при п << 3. Покажите также, что одна из частот
полученного возмущённого движения равна нулю (что соответствует переходу
на новую круговую орбиту).
Рекомендуемая литература
Н. Margenau and G. М. Murphy, The Mathematics of Physics and
Chemistry.
Глава 9 этой книги содержит краткое введение в теорию малых колебаний, а
глава 10-математические основы матричной алгебры. Метод изложения
несколько отличается от нашего, но так же широко применяется матричная
алгебра.
A. G. Webster, Dynamics.
Глава V этой книги содержит немного устаревший метод изложения теории
колебаний, однако она может оказаться полезной при изучении систем с
рассеиванием энергии. Кроме того, здесь хорошо изложены вынужденные
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed