Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае на каждый атом
Qi = 2 auFr i
(10.57)
(10.58)
362
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 10
молекулы будет действовать возмущающая электрическая сила, изменяющаяся
по синусоидальному закону с частотой падающего света. Во всех таких
случаях сила может быть записана в виде
Qi = Qoicos(otf--j-Si). (10.59)
а уравнения (10.58) в виде
- Qoi cos (u^-j- bj), (10.60)
где ш - круговая частота возмущающей силы. Общее решение
каждого уравнения (10.60) состоит из общего решения соответ-
ствующего однородного уравнения (свободное колебание) плюс частное
решение данного неоднородного уравнения. Однако при соответствующих
начальных условиях первое из них обращается в нуль *). Поэтому мы
сосредоточим своё внимание на частных решениях уравнений (10.60), которые
будут иметь вид
С4 = Я(сов((о*-И<)- (10.61)
Амплитуды Bi определяются здесь посредством подстановки частных решений
(10.61) в уравнения (10.60):
Bi^-^r, (10.62)
откуда
S vp djiQai cos (wi + ьд
"/•<=¦ 1--¦ (10-63)
i i 1
Таким образом, полное колебание будет здесь тоже линейной комбинацией
главных колебаний, но каждое главное колебание будет иметь теперь одну и
ту же частоту, равную частоте возмущающей силы.
Амплитуда каждого колебания определяется двумя факторами. Первый из них -
это амплитуда возмущающей силы, т. е. Qoi. Если сила, действующая на
точку, не имеет составляющей в направлении некоторого главного колебания,
то, очевидно, соответствующая обобщённая сила будет равна нулю и Qoi
обратится в нуль. Другими словами, внешняя сила может возбудить главное
колебание только в том случае, если она стремится двигать точку в
направлении этого колебания.
Вторым фактором является близость частот возмущающей силы и свободного
колебания. Как видно из формулы (10.62), амплитуда
*) Свободные колебания являются, в сущности, временными. Если к системе,
находящейся в равновесии, приложить возмущающие силы, медленно
изменяющиеся от нуля, то свободные колебания вообще не возникнут. Другим
аргументом в пользу игнорирования свободных колебаний является наличие
диссипативных сил (см. следующий параграф), которые уменьшают амплитуду
свободных колебаний до нуля,
§ 10.5] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ 363
Bi будет по сравнению с другими амплитудами тем больше, чем ближе со к
u>j. Формально мы получаем при со = и>4 даже бесконечно большую
амплитуду, что представляет хорошо известное явление резонанса. В
действительности, конечно, формула (10.62) справедлива только при малых
отклонениях от равновесия. В дальнейшем увидим, что в реальных колебаниях
амплитуда остаётся конечной и при резонансе. Заметим, что фаза
вынужденного колебания совпадает с фазой возмущающей силы только при ш <
о)г, а при о> > и>{ эти фазы отличаются на п.
Все наши рассуждения были до сих пор не вполне реальными, так как мы не
учитывали диссипативных сил (сил трения). В большинстве физических систем
эти силы пропорциональны скоростям движущихся точек и поэтому могут быть
получены с помощью диссипативной функции § (см. § 1.5). Рассмотрим сейчас
влияние этих сил на свободные колебания.
По определению § представляет собой однородную квадратичную функцию
скоростей. Поэтому
8 = (10-64)
где коэффициенты = ^ являются некоторыми функциями координат. Однако, так
как мы рассматриваем только малые отклонения от положения равновесия, то,
раскладывая в степенные ряды в окрестности этого положения, мы можем
ограничиться лишь первыми членами этих рядов, т. е. считать коэффициенты
постоянными (подобно тому, как мы это делали для кинетической энергии).
Заметим, что функция 2$ выражает скорость рассеивания энергии вследствие
трения и поэтому она не может быть отрицательной.
Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений Лагранжа:
S Tik + S Ъц:<ц+2 Vtrij = о (10.65)
j 3 3
(см. § 1.5).
Иногда преобразование, диагонализирующее Т и V, диагонали-зирует и (^.
Это, в частности, имеет место в том случае, когда диссипативная сила
пропорциональна не только скоростям частиц,
но и их массам. В этих исключительных случаях уравнения
движе-
ния в главных координатах будут иметь вид
ci+ §? + <¦>& = 0, (10.66)
где - положительные коэффициенты диагонализированной формы §. Уравнения
(10.66) образуют систему линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами, и их решения можно записать в
виде
364
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 10
причём и/, должны удовлетворять уравнениям
"4 = 0. (10.67)
Каждое из этих уравнений имеет корни
< = (10'68)
откуда видно, что функции С{ не являются строго периодическими, так как
числа со' содержат мнимые части. Вследствие этого функции
-^ t/2
Сг (0 будут содержать непериодические множители е , и так как j5i > 0, то
при 7-уоо они будут стремиться к нулю. Этот результат следовало, конечно,
ожидать, так как, совершая колебания, рассматриваемая система производит
работу против сил трения, что приводит к непрерывному уменьшению её
энергии (а следовательно, и амплитуды колебаний). Частота изменения
