Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
[Pi> Pj] =0,
(8.47a)
276
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[гл. 8
что должно также иметь место для всех канонических переменных.
Аналогичным образом получим
(8.47b)
Положим теперь ui = qi и Uj = qj. Тогда сумма (8.44) примет вид
П 71
. 2 {Як Яг} \Яи tyl +2 {Pi' Яг} lPv Ч)\ = hj-
Отсюда получаем
~ 2 hi fPi' Я)\ == йij'
ИЛИ
\Я1' Pj\=hy (8.47с)
Равенства (8.47) дают нам значения фундаментальных скобок Пуассона
[аналогично равенствам (8.41) для скобок Лагранжа]. Эти равенства было бы
проще доказывать с помощью непосредственного вычисления, подобно тому как
это делалось для скобок Лагранжа. Но весь смысл приведённого
доказательства состоит в том, что вычисление фундаментальных скобок
Пуассона получается здесь без ссылок на какую-либо частную систему
канонических переменных. В этом состоит преимущество рассмотренного
доказательства, из которого следует, что скобки (8.47) являются
каноническими инвариантами.
Равенства (8.47) позволяют показать, что не только фундаментальные, но и
любые скобки Пуассона не зависят от системы применяющихся канонических
переменных. Пусть F и Q будут две произвольные функции канонических
переменных. Тогда будем иметь
= <8-48>
3
Рассматривая qj и Pj как функции новых переменных Qk и Рк, можно
уравнение (8.48) записать в виде
гF о1 V Г dF ( д0 д$к ¦ д0 др*\
1Г' и*я.р A\_dqj\dQk dPj^dPk дР})~
- dF I dG dPhV
dpj \dQk dqj dPk dqj)J '
или после преобразования
* = S (m ¦ <4, ,)¦ <8-49>
§ 8.4]
СКОБКИ ЛАГРАНЖА И СКОБКИ ПУАССОНА
277
Равенство (8.49) можно использовать для вычисления скобок Пуассона,
содержащихся под знаком суммы. Если заменить в этом равенстве F на Qk, а
О на F, то оно примет вид
ю*> Рэ]' <8-50)
з з
причём мы опустили индексы у скобок Пуассона, стоящих в правой части
этого равенства, так как они являются фундаментальными и, как было
показано, являются каноническими инвариантами. В соответствии с формулами
(8.47) равенство (8.50) принимает вид
[Qfc' q, р 2 др. fyk
з
или
= (8,51)
Полученное равенство является полезным соотношением, инвариантным
относительно канонических преобразований. Аналогичным способом
вычисляется другая скобка Пуассона. Для неё будем иметь
<м+2-з^-1р" л-ь
3 3
откуда
IF. (8.52)
Подставляя (8.51) и (8.52) в (8.49), получаем
Г*7 "1 _\V др да dF dG\_tB
[F' 0]bP~2l\dQk дРк dPk dQk)-lF' Q>p'
Таким образом, инвариантность скобок Пуассона доказана. Поэтому в
дальнейшем мы будем опускать индексы у этих скобок.
Остановимся теперь на некоторых простых свойствах скобок Пуассона,
которыми нам придётся в дальнейшем пользоваться. Прежде всего заметим,
что из определения (8.43) следует равенство
\и, и] = 0. (8.53)
Далее, если с есть величина, не зависящая от р и q, то будем
иметь
[в, с] = 0. (8.54)
278
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. 8
Наконец, из элементарных правил дифференцирования вытекают равенства:
[u-\-v, w] = [u, w]-\~lv, w\ (8.55)
и
[a, vw] = [и, v]w-J-v[u, w] *). (8.56)
§ 8.5. Скобки Пуассона и уравнения движения. Если в равенствах
(8.51) и (8.52) положить F равным гамильтониану Н, то
они
примут вид:
[qt, H\ = ^ = qt (8.57а)
И
[Pi, Н]=--^=р{. (8.57Ь)
Эти равенства представляют канонические уравнения движения, написанные с
помощью скобок Пуассона. Они являются частным случаем равенств,
выражающих полную производную некоторой функции u(q, р, t) по времени.
Действительно, какова бы ни была эта функция, мы будем иметь
du / ди • . ди ¦ \ , ди
i
Но с помощью уравнений гамильтона производные qi и Pi можно выразить
через гамильтониан; тогда получим
du VT / ди дН ди дН\ , ди_
~dt 2u \ dqt ~dpl dpt dqt j ' dt
г
ИЛИ
$=[", (8-58)
Равенства (8.57), очевидно, получаются из этого соотношения при u=qt и и
= р^ Кроме того, если положить здесь и=Н, то будем иметь
dH _ дН dt dt
что совпадает с равенством (7.19), полученным ранее.
*) Заметим, что в квантовой механике скобкам Пуассона соответствует 2тс i
произведение на коммутатор двух величин:
, . 2тс/ .
[и, v] -"¦ -(uv - VU)
(h - постоянная Планка). Легко проверить, что соотношения (8.53)-(8.56)
справедливы также и для коммутаторов.
§ 8.5]
СКОБКИ ПУАССОНА И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
279
Если и не содержит явно t (а мы ограничимся рассмотрением только таких
случаев), то
¦§ = [". н\.
Поэтому, если [и, Н]= 0, то и u(q, р) будет величиной постоянной. Верно и
обратное: если функция u(q, р) сохраняет своё значение, то [и, Я]=0.
Таким образом, мы получаем критерий для того, чтобы судить о том,
является ли u(q, р) константой движения.
Если u(q, р) = const и v(q, р) = const суть два первых интеграла
движ'ения, то можно с помощью так называемого тождества Якоби образовать
ещё один такой интеграл. Согласно этому тождеству, если и, v и та- три
любые функции q и р, то
[и, [v, [та, и]]+ [та, [и, г"]] = 0. (8.59)
Для доказательства этого тождества рассмотрим два первых слагаемых суммы
(8.59), которые можно записать в виде
[и, [v, та]]- \v, [и, w\ ]. (8.60)
Покажем, что написанное выражение не содержит вторых производных от та.
